009树的原理应用

树与二叉树核心知识点笔记

一、树的概念和原理

1. 基本定义

树是一种非线性层次结构，用于描述数据元素之间“一对多”的逻辑关系，广泛应用于现实场景（如公司组织架构、家族族谱、院系关系等）。其严格数学定义如下：

树是n个结点的有限集，n=0时称为空树；
非空树有且仅有一个根节点（无直接前驱节点）；
除根节点外，其余任意节点有且仅有一个直接前驱，零个或多个直接后继；
当n>1时，其余节点可分为m个（m≥1）互不相交的有限集（T₁、T₂、…、Tₘ），每个集合本身也是一棵树（称为根的子树）。

2. 核心术语

双亲/孩子：若结点有子树，该结点称为子树根的“双亲”，子树根称为该结点的“孩子”；
兄弟：具有相同双亲的结点互称兄弟；
祖先/子孙：从根节点到某结点路径上的所有结点，称为该结点的“祖先”；以某结点为根的子树中所有结点，称为该结点的“子孙”；
结点的度：结点拥有的子树数量；
叶子结点：度为0的结点（无子女，位于树的最底层）；
分支结点：度不为0的结点（非叶子结点，包括根节点）；
树的深度（高度）：树的最大层数（规定根节点为第一层）。

结点A的度是2，结点B的度是1，结点H的度是2，结点C的度是3。结点D、E、F、G、I都是叶子结点，对于A、B、H、C都是分支结点。

对于树A一共有4层，所以树A的深度就是4，对于子树B的深度是3，对于子树H的深度是2

二、二叉树的种类说明

二叉树是特殊的树结构，核心特征为每个结点至多有2棵子树（左子树、右子树），子树有明确次序（左、右不能随意调换），属于有序树。

1. 基本形态

二叉树有5种基本形态：

空树（无任何结点）；
仅根节点（无左、右子树）；
根节点+左子树（无右子树）；
根节点+右子树（无左子树）；
根节点+左子树+右子树（完整二叉树结构）。

2. 常见类型

（1）斜树

定义：仅包含左子树的二叉树称为“左斜树”，仅包含右子树的二叉树称为“右斜树”；
特点：退化为线性结构（与链表等价），无法体现二叉树的高效性。

（2）满二叉树

定义：高度为h的二叉树，结点总数为 (2^h - 1)；
核心特征：所有结点的度均为2（无单分支结点），叶子结点全部集中在最下层。

（3）完全二叉树

定义：最下面两层的结点度可小于2，结点按“从上到下、从左到右”的顺序连续编号，最下层的叶子结点集中在左侧；
关键关系：满二叉树是特殊的完全二叉树，但完全二叉树不一定是满二叉树。

（4）二叉查找树（BST，Binary Search Tree）

又称二叉搜索树、二叉排序树，结点包含键值（key），满足以下规则：

左子树中所有结点的键值 < 根结点的键值；
右子树中所有结点的键值 > 根结点的键值；
左、右子树也分别是二叉查找树（键值不重复）；

核心特性：最小结点在左子树的最末端（持续向左遍历），最大结点在右子树的最末端（持续向右遍历）。

（5）平衡二叉树

定义：树中任一结点的左、右子树深度之差不超过1
核心作用：避免二叉查找树退化为斜树，保证查找、插入、删除操作的时间复杂度稳定在O(log n)。

3. 二叉查找树核心操

（1）插入操作

核心逻辑：从根节点开始，将待插入值与当前结点键值比较；小于当前结点键值则向左子树移动，大于则向右子树移动；找到空位置后，插入新结点作为叶子。
示例：插入数字1到键值为[15,9,23,3,12,17,28,8]的BST中，路径为15→9→3→插入3的左下方。

（2）删除操作

需保持BST的核心规则，分3种情况处理：

删除叶子结点（度为0）：直接删除该结点，无需调整其他结点；
删除单分支结点（度为1）：删除目标结点后，将其子结点替换到目标结点的位置；
删除双分支结点（度为2）：删除目标结点后，用其左子树的最大结点（左子树最右侧结点）或右子树的最小结点（右子树最左侧结点）替换，再递归删除替换结点。

（3）查找操作

核心逻辑：从根节点开始，待查找值小于当前结点键值则向左子树移动，大于则向右子树移动；若键值匹配则找到目标结点，若遍历至空结点则表示不存在该值。

三、二叉树的性质说明

1. 核心性质

性质编号	具体描述	示例验证
性质1	叶子结点数 (n_0 = 双分支结点数n_2 + 1)；总结点数 (n = n_0 + n_1 + n_2)（(n_1) 为单分支结点数）	若某二叉树有3个叶子结点（(n_0=3)）、1个单分支结点（(n_1=1)）、2个双分支结点（(n_2=2)），则总结点数=3+1+2=6
性质2	第i层最多有 (2^{i-1}) 个结点（i≥1）	高度为4的满二叉树，第4层结点数= (2^{4-1}=8)
性质3	高度为h的二叉树最多有 (2^h - 1) 个结点（满二叉树为结点数最多的情况）	高度为4的满二叉树，总结点数= (2^4 - 1=15)

2.笔试题

笔试题：

四、二叉树的存储结构

1. 顺序结构（数组存储）

存储规则：采用地址连续的内存单元（数组），按“从上到下、从左到右”的顺序存储二叉树结点；编号为i的结点存储在数组下标为i-1的位置（空结点用0表示）；

0表示不存在的空结点。
适用场景：满二叉树、完全二叉树（空间利用率高，可通过数组下标快速计算父子结点关系）；
缺点：普通二叉树需用0填充大量空结点，导致空间浪费严重。

2. 链式结构（二叉链表）

结构设计：每个结点包含3个部分——数据域（存储键值）、左子树指针域（指向左孩子结点）、右子树指针域（指向右孩子结点）；

采用双向不循环链表的方案

链式结构就可以有效的解决数组中存储空结点的问题，链式结构不受内存的限制
优点：无空间浪费，可存储任意形态的二叉树，插入/删除操作灵活；

五、二叉树的遍历说明

1. 核心遍历方式

遍历是从根节点出发，依次访问所有结点（每个结点仅访问一次），是二叉树数据读取的核心方式，常用3种遍历策略。

前序遍历
中序遍历
后序遍历。

前，中，后指的是根结点打印的顺序

(1) 前序遍历（根结点--->左子树--->右子树） A B D G H C E I F

(2) 中序遍历（左子树--->根结点--->右子树） G D H B A E I C F

(3) 后序遍历（左子树--->右子树--->根结点） G H D B I E F C A

2. 遍历应用：还原二叉树

已知两种遍历序列可唯一还原二叉树（前序+中序、后序+中序），步骤如下：

从前序序列的第一个元素或后序序列的最后一个元素确定根节点；
在中序序列中找到根节点的位置，分割出左子树和右子树的中序序列；
根据左、右子树的中序序列长度，分割前序/后序序列，得到左、右子树的前序/后序序列；
递归执行上述步骤，直至还原整个二叉树。

示例：前序序列ABDEGHCF，中序序列DBGEHACF → 还原后后序序列为DGHEBFCA。

3.笔试题