向量内积(点乘)和外积(叉乘)概念及几何意义

 

向量的内积(点乘)

定义

概括地说,向量的内积(点乘/数量积)。对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,如下所示,对于向量a和向量b:

a和b的点积公式为:

这里要求一维向量a和向量b的行列数相同。注意:点乘的结果是一个标量(数量而不是向量)

定义:两个向量ab的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b),特别地,0·a =a·0 = 0;若ab是非零向量,则ab****正交的充要条件是a·b = 0。

向量内积的性质:

  1. a^2 ≥ 0;当a^2 = 0时,必有a = 0. (正定性)
  2. a·b = b·a. (对称性)
  3. a + μbc = λa·c + μb·c,对任意实数λ, μ成立. (线性)
  4. cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|).
  5. |a·b| ≤ |a||b|,等号只在ab共线时成立.

向量内积的几何意义

内积(点乘)的几何意义包括:

  1. 表征或计算两个向量之间的夹角
  2. b向量在a向量方向上的投影

有公式:

推导过程如下,首先看一下向量组成:

定义向量c

根据三角形余弦定理(这里a、b、c均为向量,下同)有:

根据关系c=a-b有:

即:

a∙b=|a||b|cos⁡(θ)

向量a,b的长度都是可以计算的已知量,从而有a和b间的夹角θ:

θ=arccos⁡(a∙b|a||b|)

进而可以进一步判断两个向量是否同一方向或正交(即垂直)等方向关系,具体对应关系为:

a∙b>0→方向基本相同,夹角在0°到90°之间
a∙b=0→ 正交,相互垂直
a∙b<0→ 方向基本相反,夹角在90°到180°之间

向量的外积(叉乘)

定义

概括地说,两个向量的外积,又叫叉乘、叉积向量积,其运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的外积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

定义:向量ab的外积a×b是一个向量,其长度等于|a×b| = |a||b|sin∠(a,b),其方向正交于ab。并且,(a,b,a×b)构成右手系。
特别地,0×a = a×0 = 0.此外,对任意向量aa×a=0

对于向量a和向量b:

a和b的外积公式为:

其中:

根据i、j、k间关系,有:

向量外积的性质

  1. a × b = -b × a. (反称性)
  2. a + μb) × c = λ(a ×c) + μ(b ×c). (线性)

向量外积的几何意义

在三维几何中,向量a和向量b的外积结果是一个向量,有个更通俗易懂的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。

在3D图像学中,外积的概念非常有用,可以通过两个向量的外积,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示:

在二维空间中,外积还有另外一个几何意义就是:|a×b|在数值上等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

Reference

posted @ 2017-05-26 17:24  朝研行歌  阅读(219079)  评论(5编辑  收藏  举报