Raney引理学习笔记

一些无关紧要的事

关于2025.8.7，tyoi模拟赛我T3想了好久没想出来，打暴力数组开大RE爆零这件事（TT）

Raney引理：

引理内容：

对于一个长度为 \(n\) 正数序列 \(a\) ,满足 \(\sum_{i=1}^{n}a_i = 1\) ,则有且仅有一个循环位移满足对于所有位置的前缀和都为正数

证明：

首先证明存在性：

利用反证法。假设不存在任何一个循环位移满足条件，则对于某个循环位移 \(a\) ,能找到最后一个 \(k_1\) 满足 \(\sum_{i=1}^{k_1}a_i \leq 0\) ，由 \(\sum_{i=1}^{n}a_i = 1\) 可得 \(\sum_{i=k1+1}^{n}a_i \geq 1\) 。令序列 \(a'\) 为 \(a\) 中以 \(k_1\) 为开头的循环位移，由假设可知，能找到最后一个 \(k_2\) 满足\(\sum_1^{i=k_2}a'_i \leq 0\) 。重复以上操作，直到最后会发现只剩 \(a_1\) ，在序列最后，又因为 \(\sum_{i=1}^{n}a_i = 1\) ，所以当前序列任意一个位置的前缀和为正数。

其次证明唯一性：

再次利用反证法，假设对于一个满足条件的序列 \(a\) ，存在一个位置 \(k\) ，以 \(k\) 为开头的循环位移同样满足条件。因为\(\sum^{k-1}_{i=1}a_i + \sum^{n}_{i=k}a_i = \sum^{n}_{i=1}a_i = 1\) 且 \(\sum^{k-1}_{i=1}a_i > 0\) ，所以 \(\sum^n_{i=k} < 1\) ，又因为 \(a\) 是正数序列，所以 \(\sum^n_{i=k} \leq 0\) ，不满足定义，所以满足条件的循环位移有且仅有一个。