FFT笔记

蝴蝶操作和Rader排序

蝴蝶操作的定义：

 

 

 

 

雷德(Rader)算法 (Gold Rader bit reversal algorithm)

按自然顺序排列的二进制数，其下面一个数总是比其上面一个数大1，即下面一个数是上面一个数在最低位加1并向高位进位而得到的。而倒位序二进制数的下面一个数是上面一个数在最高位加1并由高位向低位进位而得到。

I、 J都是从0开始，若已知某个倒位序J，要求下一个倒位序数，则应先判断J的最高位是否为0，这可与k=N/2相比较，因为N/2总是等于100..的。如 果k>J，则J的最高位为0，只要把该位变为1（J与k=N/2相加即可），就得到下一个倒位序数；如果K<=J，则J的最高位为1，可将最 高位变为0（J与k=N/2相减即可）。然后还需判断次高位，这可与k=N\4相比较，若次高位为0，则需将它变为1（加N\4即可）其他位不变，既得到 下一个倒位序数；若次高位是1，则需将它也变为0。然后再判断下一位。。。。

 

原来的序号             0      1       2       3      4        5       6       7

原来的二进制表示 000  001   010   011   100   101   110   111

现在的序号             0      4        2        6        1        5        3      7

现在的二进制表示  000  100    010    110    100    101    011   111

从高位到低位依次判断其是否为1，为1将其变位0，若这一位为0，将其变位1，即可得到倒序数。若倒序数小于顺序数，进行换位，否则不变，防治重复交换，变回原数。

伪码:

for i = 0 ... n − 2 do
  k = n/2
  if i < j then
    swap g(i) and g(j)
  end if
  while k ≤ j do
    j ⇐ j − k
    k ⇐ k/2
  end while
  j ⇐ j + k
end for

 

 

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>

#define MAXN 256
int reversal[MAXN] = {0}; // 存放二进制反转下标
int limit=1; // 数组2次幂上限
int bit = 0; // 二进制位数
void swap(int *a, int *b)
{
    int tmp;
    tmp = *a;
    *a = *b;
    *b = tmp;
    /*
     * int *tmp;
     * tmp=a;
     * a=b;
     * b=tmp;
     */
    return;
}

/*
 * 数组根据元素下标进行二进制反转.
 * 将下标为当前下标折半的数组元素值右移一位,如果是奇数,则最高位加1.
 */
void rader_bit_reversal(int *array, int size)
{
    while(limit<size) limit<<=1, ++bit;
    printf("%d\n", bit);
    for(int i=0;i<size;i++)
    {
        reversal[i]= ( reversal[i>>1]>>1 )| ( (i&1)<<(bit-1) ) ;
        if(i<reversal[i])
            swap(&array[i],&array[reversal[i]]);//求出要迭代的序列
    }
    //for(int i=0;i<size;i++)
    for(int idx = 0; idx < size; ++idx)
        printf("%d ", array[idx]);
    return;
}

int main(void)
{
    // 整体思想:倒位序二进制数的下面一个数是上面一个数在最高位加1并由高位向低位进位而得到。
    int array[] = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 };
    int i, j, k;
    int N = sizeof(array)/sizeof(array[0]);
    int temp;
    j = 0; // 反转下标

    for (i = 0; i < N - 1; i++) {
        // 若倒序数i小于顺序数j，进行换位，否则不变，防治重复交换，变回原数。
        if (i < j) {
            temp = array[i];
            array[i] = array[j];
            array[j] = temp;
        }

        // k代表以二进制数表示的数组array元素个数(必须是2的整数次幂的倍数)的最高位的1.
        k = N >> 1;

        // 若已知某个倒位序J，要求下一个倒位序数，则应先判断J的最高位是否为0，这可与k=N/2相比较，因为N/2总是等于100..的。如 果k>J，则J的最高位为0，只要把该位变为1（J与k=N/2相加即可），就得到下一个倒位序数;如果K<=J，则J的最高位为1，可将最 高位变为0（J与k=N/2相减即可）。然后还需判断次高位，这可与k=N\4相比较，若次高位为0，则需将它变为1（加N\4即可）其他位不变，既得到 下一个倒位序数；若次高位是1，则需将它也变为0。然后再判断下一位。。。。
        while (k <= j) {
            j = j - k;
            k >>= 1;
        }

        j = j + k;
    }

    for (i = 0; i < N; i++)
        printf("%d ", array[i]);
    printf("\n");

    int array2[] = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 };
    int size = sizeof(array2)/sizeof(array2[0]);
    rader_bit_reversal(array2, size);

    return 0;
}