主子式与顺序主子式

主子式（Principal Minor）是线性代数中一个与矩阵相关的重要概念。

1. 主子式定义

对于一个𝑛×𝑛的方阵𝐀，它的𝑘阶主子式是指从矩阵中选取相同的行号和列号构成的一个𝑘×𝑘子矩阵的行列式。换句话说，如果你选择保留原矩阵的第𝑖₁,𝑖₂,…,𝑖_𝑘行，同时也要保留原矩阵的第𝑖₁,𝑖₂,…,𝑖_𝑘列，然后计算这个新的𝑘×𝑘小矩阵的行列式值，这个值就是一个𝑘阶主子式。

举例

2. 与「顺序主子式」的区别

「主子式」和「顺序主子式」（Leading Principal Minor）是两个相关但不同的概念：

• 主子式：可以从矩阵的任意相同行和列组合中选取。
• 顺序主子式：是特指从矩阵左上角开始，依次扩展的子矩阵的行列式。

 例如，对于上面的矩阵𝐀，其顺序主子式只有三个：

3. 应用

主子式在数学和应用领域（如经济学和最优化理论）中有重要应用，特别是用于判断对称矩阵的正定性和半正定性：

• 正定矩阵：一个对称矩阵是正定的，当且仅当其所有的顺序主子式都严格大于零（根据西尔维斯特准则）。
• 半正定矩阵：一个对称矩阵是半正定的，当且仅当其所有（包括顺序的和非顺序的）主子式都大于或等于零。