【笔记】莫队

普通莫队

暴力。把询问按照左端点所在块为第一关键字，右端点升序排序。

暴力修改和询问。

时间复杂度

对于左指针，每一次在块内每一次最多移动 \(B\)，在块与块之间最多移动 \(2B\)。

时间复杂度为 \(O(Bm)\)。

对于右指针，每一个块都要移动 \(n\) 次，时间复杂度为 \(O(\displaystyle \frac{n^2}{B})\)。

加起来为 \(O(Bm+\displaystyle \frac{n^2}{B})\)。

当 \(B\) 增大时一个增大一个减小。粗略估计当 \(Bm=\displaystyle \frac{n^2}{B}\) 时，即 \(B=\displaystyle\sqrt\frac{n^2}{m}\) 时取最小值（当然大部分时候 \(n\) 与 \(m\) 的数量级相等，可以取 \(B=\sqrt n\)。）

时间复杂度为 \(O(\displaystyle\sqrt\frac{n^2}{m}\cdot m)=O(\displaystyle\sqrt{\frac{n^2}{m}m^2})=O(n\sqrt m)\)。

奇偶优化

对于每一次右指针的移动，我们可以给它在奇数块的时候按升序排序，偶数块的时候按降序排序，这样可以大大优化来回跑的时间。

普通莫队 + 分块

对于某些题，明显每一个块内需要用一种数据结构来维护查询。

首先你肯定第一会想到树状数组或线段树。

想一想，它每一次修改（即移动指针）和查询都是 \(O(\log n)\) 的。

总体时间复杂度为 \(O(n\sqrt m\log n)\)。常数够小，这个时间复杂度是可以被接受的。

但是有没有更快的时间复杂度的呢？

看见一个一个块，我们一定会想到分块（实在没想到也没有关系）。每一次修改其实是 \(O(1)\) 的，查询才是 \(O(\sqrt n)\) 的。

所以使用分块时，时间复杂度是 \(O(n\sqrt m+m\sqrt n)\)。更能接受！

普通莫队 + bitset

实在不能用分块的怎么办呢？我们可以使用 bitset。此时时间复杂度为 \(O(n\sqrt m+\displaystyle\frac{nm}{\omega})\)。

带修莫队

和上面基本相同，只是排序方式发生了改变：左端点所在的块的编号为第一关键字，右端点所在的块的编号为第二关键字，时间升序为第三关键字即可。

设有 \(m\) 次查询， \(t\) 次修改。

对于左指针：\(O(mB)\)。

对于右指针，自己移动为：\(O(mB)\)，左指针变化时为 \(O(\displaystyle \frac {n^2}B)\)。

对于时间数组，当端点所在块不同时就要变化，时间复杂度为：\(O(\displaystyle \frac {n^2}{B^2}t)\)

时间复杂度

因为 \(O(\displaystyle \frac {n^2}B) < O(\displaystyle \frac {n^2}{B^2}m)\)，所以只用当 \(mB=\displaystyle \frac {n^2}{B^2}t\) 时便可最优。

解得 \(B=\displaystyle \frac {n^{\frac23}t^{\frac13}}{m^{\frac13}}\)。（当然可以简记为 \(B=n^{\frac23}\)）。

时间复杂度为 \(O(n^{\frac23} m^{\frac23} t^{\frac13})\approx O(n^{\frac23}m) \approx O(n^{\frac53})\)。

回滚莫队

对于不能有删除的莫队（比如说求 \(\max\)），我们可以这么来做。

• 对于 \(l\) 和 \(r\) 在同一块中，我们可以直接暴力。复杂度：\(O(\sqrt n)\)。
• 对于 \(l\) 和 \(r\) 不在同一个块。我们可以升序扫 \(r\)，然后每一次 \(l\) 从 \(l\) 块中的最后一个元素出发暴力扫一遍，再撤销。左指针仍然每次只便利了 \(O(\sqrt n)\) 次。

假设 \(belong_i\) 表示 \(i\) 所在的块的编号。

所以时间复杂度仍为 \(O(n\sqrt{ {m}_{ belong_l=belong_r}}+{m_{ belong_l\neq belong_r}}\sqrt n) \approx O(n\sqrt m+m\sqrt n)\)。

树上莫队

拍扁为进去一次，出去一次的类似于欧拉序的东西即可。

实战分析