一、罗素悖论
一天，萨维尔村理发师挂出了一块招牌：村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发。于是有人问他：“您的头发谁给理呢？”理发师顿时哑口无言。
1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基础。到十九世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础上了。就在这时，集合论接连出现了一系列自相矛盾的结果。特别是1902年罗素提出理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗。于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。此后，为了克服这些悖论，数学家们做了大量研究工作，由此产生了大批新成果，也带来了数学观念的革命。
二、说谎者悖论：
“我正在说的这句话是慌话。”公元前四世纪的希腊数学家欧几里德提出的这个悖论，至今还在困扰着数学家和逻辑学家。这就是著名的说慌者悖论。类似的悖论最早是在公元前六世纪出现的，当时克里特岛哲学家爱皮梅尼特曾说过：“所有的克里特岛人都说慌。”在中国古代《墨经》中，也有一句十分相似的话：“以言为尽悖，悖，说在其言。”意思是：以为所有的话都是错的，这是错的，因为这本身就是一句话。
说慌者悖论有多种变化形式，例如，在同一张纸上写出下列两句话：
下一句话是慌话。
上一句话是真话。
更有趣的是下面的对话。甲对乙说：“你下面要讲的是‘不’，对不对？请用‘是’或‘不’来回答！”
还有一个例子。有个虔诚的教徒，他在演说中口口声声说上帝是无所不能的，什么事都做得到。一位过路人问了一句话：“上帝能创造一块他自己也举不起来的石头吗？”
三、芝诺悖论：
阿基里斯是希腊传说中跑得最快的人。一天他正在散步，忽然发现在他前面一百米远的地方有一只大乌龟正在缓慢地向前爬。乌龟说：“阿基里斯，谁说你跑得最快？你连我都追不上！”阿基里斯说：“胡说！我的速度比你快何止上百倍！就算刚好是你的十倍，我也马上就可以超过你！”乌龟说：“就照你说的，咱们来试一试吧！当你跑到我现在这个地方，我已经向前跑了十米。当你向前跑过十米时，我又爬到前面去了。每次你追到我刚刚爬过的地方，我都又向前爬了一段距离。你只能离我越来越近，却永远也追不上我！”阿基里斯说：“哎呀，我明明知道能追上你，可是你说的好像也有道理。这到底是怎么回事呢？”
这个有趣的悖论，是公元前五世纪古希腊哲学家芝诺提出来的。在两千多年的时间里，它使数学家和哲学家伤透了脑筋。芝诺悖论关键是使用了两种不同的时间测度。原来，我们用来测定时间的任何一种“钟”，都是依靠一种周期性的过程作标准的。如太阳每天东升西落，月亮的圆缺变化，一年四季的推移，钟摆的运动等等。人们正是利用循环或重复运动的次数作为时间的测量标准的。
芝诺悖论中除了普通的钟以外，还有另一种很特别的“钟”，这就是用阿基里斯每次到达上次乌龟到达的位置作为一个循环。用这种重复性过程测得的时间称为芝诺时。例如，当阿基里斯第n次到达乌龟在第n次的起点时，芝诺时记为n，这样，在芝诺时为有限的时刻，阿基里斯总是落在乌龟的后面。但是在我们的钟表上，假如阿基里斯跑完一百米用了一分钟，那么他到达第二次乌龟的起点要六秒钟，下一次要0.6秒，实际上，他只需要分钟就可以追上乌龟了。因此，芝诺时的产生原因，是在于“芝诺时”不可能测量阿基里斯追上乌龟后的现象。在芝诺时达到无限后，正常计时仍可以进行，只不过芝诺的“钟”已经无法测量它们了。
这个悖论实际上是反映了时空并不是无限可分的，运动也不是连续的。即朴素的量子论。
悖论反映了严密的数学并不是铁板一块，它的数学概念，原理之中也存在许多矛盾。数学就是在解决矛盾中逐渐发展完善起来的。悖论的存在，还告诉我们，在学习与研究数学时，必须牢记古希腊数学家的名言：要怀疑一切，只有这样才能有所发现。
一天，萨维尔村理发师挂出了一块招牌：村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发。于是有人问他：“您的头发谁给理呢？”理发师顿时哑口无言。
1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基础。到十九世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础上了。就在这时，集合论接连出现了一系列自相矛盾的结果。特别是1902年罗素提出理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗。于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。此后，为了克服这些悖论，数学家们做了大量研究工作，由此产生了大批新成果，也带来了数学观念的革命。
二、说谎者悖论：
“我正在说的这句话是慌话。”公元前四世纪的希腊数学家欧几里德提出的这个悖论，至今还在困扰着数学家和逻辑学家。这就是著名的说慌者悖论。类似的悖论最早是在公元前六世纪出现的，当时克里特岛哲学家爱皮梅尼特曾说过：“所有的克里特岛人都说慌。”在中国古代《墨经》中，也有一句十分相似的话：“以言为尽悖，悖，说在其言。”意思是：以为所有的话都是错的，这是错的，因为这本身就是一句话。
说慌者悖论有多种变化形式，例如，在同一张纸上写出下列两句话：
下一句话是慌话。
上一句话是真话。
更有趣的是下面的对话。甲对乙说：“你下面要讲的是‘不’，对不对？请用‘是’或‘不’来回答！”
还有一个例子。有个虔诚的教徒，他在演说中口口声声说上帝是无所不能的，什么事都做得到。一位过路人问了一句话：“上帝能创造一块他自己也举不起来的石头吗？”
三、芝诺悖论：
阿基里斯是希腊传说中跑得最快的人。一天他正在散步，忽然发现在他前面一百米远的地方有一只大乌龟正在缓慢地向前爬。乌龟说：“阿基里斯，谁说你跑得最快？你连我都追不上！”阿基里斯说：“胡说！我的速度比你快何止上百倍！就算刚好是你的十倍，我也马上就可以超过你！”乌龟说：“就照你说的，咱们来试一试吧！当你跑到我现在这个地方，我已经向前跑了十米。当你向前跑过十米时，我又爬到前面去了。每次你追到我刚刚爬过的地方，我都又向前爬了一段距离。你只能离我越来越近，却永远也追不上我！”阿基里斯说：“哎呀，我明明知道能追上你，可是你说的好像也有道理。这到底是怎么回事呢？”
这个有趣的悖论，是公元前五世纪古希腊哲学家芝诺提出来的。在两千多年的时间里，它使数学家和哲学家伤透了脑筋。芝诺悖论关键是使用了两种不同的时间测度。原来，我们用来测定时间的任何一种“钟”，都是依靠一种周期性的过程作标准的。如太阳每天东升西落，月亮的圆缺变化，一年四季的推移，钟摆的运动等等。人们正是利用循环或重复运动的次数作为时间的测量标准的。
芝诺悖论中除了普通的钟以外，还有另一种很特别的“钟”，这就是用阿基里斯每次到达上次乌龟到达的位置作为一个循环。用这种重复性过程测得的时间称为芝诺时。例如，当阿基里斯第n次到达乌龟在第n次的起点时，芝诺时记为n，这样，在芝诺时为有限的时刻，阿基里斯总是落在乌龟的后面。但是在我们的钟表上，假如阿基里斯跑完一百米用了一分钟，那么他到达第二次乌龟的起点要六秒钟，下一次要0.6秒，实际上，他只需要分钟就可以追上乌龟了。因此，芝诺时的产生原因，是在于“芝诺时”不可能测量阿基里斯追上乌龟后的现象。在芝诺时达到无限后，正常计时仍可以进行，只不过芝诺的“钟”已经无法测量它们了。
这个悖论实际上是反映了时空并不是无限可分的，运动也不是连续的。即朴素的量子论。
悖论反映了严密的数学并不是铁板一块，它的数学概念，原理之中也存在许多矛盾。数学就是在解决矛盾中逐渐发展完善起来的。悖论的存在，还告诉我们，在学习与研究数学时，必须牢记古希腊数学家的名言：要怀疑一切，只有这样才能有所发现。
