学习笔记：重链剖分

重链剖分

前置芝士：线段树，dfs 序，LCA

概念

一个非叶子节点，他的儿子中子树大小最大的就是重儿子，否则就是轻儿子
对于一条边，如果连接的子节点是重儿子，那么这条边就是重边，否则就是轻边
重链：如果一条链中的边都是重边，那么这条链就是重链

重要结论

一个节点到根节点的路径上最多不超过 $\log n$ 条重链

证明

（以下用 $now$ 表示当前节点，$fa$ 表示 $now$ 的父节点，$son_{fa}$ 表示父节点的重儿子，$size_u$ 表示 $u$ 子树的大小）

由于经过 $\log n$ 条重链后，那么就会经过 $\log n$ 条轻边

那么只需要证明经过一条轻边后 $size$ 至少会变为原来的 $2$ 倍就行了

再分类讨论一下：

如果 $size_{son_{fa}} \le \dfrac{size_{fa}}2$ ，那么显然可以得到 $size_{now} \le \dfrac{size_{fa}}2$ ，那么经过这条轻边后 $size$ 至少会变成原来的 $2$ 倍

否则，$size_{son_{fa}} > \dfrac{size_{fa}}2 $，那么由于 $size_{now}\le size_{fa}-size_{son_{fa}}$，那么可以得到 $size_{now} < \dfrac {size_{fa}} 2$，那么经过这条轻边后 $size$ 至少也会变成原来的 $2$ 倍

dfs1

dfs 时我们需要处理出以下数组：

$fa_u$ ：表示 $u$ 节点的父节点
$depth_u$ ：表示 $u$ 节点的深度
$size_u$ ：表示以 $u$ 节点为根的子树的大小
$son_u$ ：表示 $u$ 节点的重儿子

Code

（代码里的注释已经讲的很清楚了）

void dfs1(int u,int f)
{
	fa[u]=f,size[u]=1;
	depth[u]=depth[f]+1;
	for (int v:g[u])
		if (v!=f) {
			dfs1(v,u); size[u]+=size[v]; //统计当前节点的子树大小
			if (size[v]>size[son[u]]) son[u]=v; //记录重儿子
		}
}

dfs2

这次我们需要处理出以下数组：

$top_u$ ：$u$ 所在的重链的链顶
$id_u$ ： $u$ 节点在 dfs 序中的编号

不过这次 dfs 时我们要先遍历重儿子，再遍历轻儿子，原因后面再说

Code

void dfs2(int u,int topf) //topf：u所在的重链的链顶
{
	top[u]=topf,id[u]=(++cnt);
	if (son[u]) dfs2(son[u],topf); //注意这里要先判断当前节点是否为叶节点
	for (int v:g[u])
		if (!top[v])
			dfs2(v,v); //轻儿子所在的重链的链顶就是它本身
}

树上操作

由于 dfs2 时是先遍历的重儿子，再遍历的轻儿子，那么树上每条重链的 $id$ 都是连续的

由于是 dfs ，那么子树内的 $id$ 也是连续的

这样就方便用数据结构维护了

处理子树

处理 $x$ 子树：

直接在数据结构上处理 $[id_x,id_{x+size_x-1}]$ 区间就行了

代码就不放了

处理树上路径

处理树上 $x$ 到 $y$ 的路径：

我们可以先把路径分成两部分：$x$ 到 $LCA(x,y)$ 和 $y$ 到 $LCA(x,y)$

我们再回想下求 $LCA$ 的最朴素的写法：就是只要 $x$ 和 $y$ 不相等就选择最深的节点往上跳

那么这里我们也用类似的做法：只要 $x$ 和 $y$ 不在同一条重链里，就选择重链链顶深度高的那个跳到链顶的父节点，同时在处理它到链顶的这条链，$x$ 和 $y$ 在同一条重链后还要再处理 $x$ 到 $y$ 的这条链

由于 $x->LCA$ 和 $y->LCA$ 的路径上重链总数不超过 $2\log n$ 条，那么总时间复杂度就为 $O(\log ^2 n)$

Code

void solve(int x,int y)
{
	while (top[x]!=top[y]) {
		if (depth[top[x]]<depth[top[y]]) swap(x,y);
		//处理线段树上 id[top[x]]~id[x] 区间
    	x=fa[top[x]];
	}
	if (depth[x]>depth[y]) swap(x,y);
	//处理线段树上 id[y]~id[y] 区间
}

处理边权问题

先把边权存到边连接的深度更大的点上，再进行处理

但是处理树上路径时，当 $top_x=top_y$ 后，应该改成处理 $[id_x+1,id_y]$ 区间

因为此时 $x$ 就为原来的 $x$ 和 $y$ 的 LCA 了，由于 LCA 上的点权存的是 $fa_{LCA}$ 到 LCA 的边权，就不在 $x$ 到 $y$ 的路径上了

学习笔记：重链剖分

重链剖分

概念

重要结论

证明

dfs1

Code

dfs2

Code

树上操作

处理子树

处理树上路径

Code

处理边权问题

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