斜率优化

斜率优化

简单介绍

斜率优化是一种优化dp的方法，形如单调队列，但针对的方程不同。

单调队列优化形如$f[i]=max(f[j]+a[i])$的方程，而斜率优化可以将形如$f[i]=max(f[j]*a[i]+b[i])$的方程从$O(n^2)$优化到$O(n)$

做法

step1：列出暴力dp的状态转移方程

step2：将方程转移为$j$比$k$更优时$\frac{y_j-y_k}{x_j-x_k}<a_i$或$\frac{y_j-y_k}{x_j-x_k}>a_i$的形式

step3：$\frac{y_j-y_k}{x_j-x_k}<a_i$则维护下凸壳；$\frac{y_j-y_k}{x_j-x_k}>a_i$则维护上凸壳

维护方法：

用直线$y=a_i$​切这个凸包，找出截距最大者，实现方法即为从左侧将斜率小于或大于$a_i$的点删除

插入时将插入点两侧破坏凸包性质的点删除即可

几个例题

1. 题解P2365 任务安排

2. 题解P4027 [NOI2007]货币兑换

3. P2120 [ZJOI2007]仓库建设

4. P3195 [HNOI2008]玩具装箱TOY