std::map红黑树规则与修复
红黑树的规则
红黑树通过以下 5条规则 保持平衡：
- 颜色 规则：每个节点是 红色 或 黑色。
- 根节点规则：根节点必须是 黑色。
- 叶子节点规则：叶子节点（NIL 节点，空节点）是 黑色。
- 红色节点规则：红色节点的子节点必须是 黑色（即不能有连续的红色节点）。
- 黑色高度规则：从任意节点到其所有叶子节点的路径上，黑色节点的数量相同（称为 黑高）。
红黑树的插入与修复
当插入一个新节点时，红黑树可能违反规则，需要通过 颜色调整 和 旋转 来修复。
插入步骤
- 按BST规则插入：新节点初始为 红色（减少对黑高的影响）。
- 修复颜色冲突：如果父节点是红色，违反规则4，需要调整。
修复操作的3种情况
- Case 1：叔叔节点是红色。
- 将父节点和叔叔节点变为黑色，祖父节点变为红色。
- Case 2：叔叔节点是黑色，且新节点是父节点的右子节点。
- 对父节点左旋，转为 Case 3。
- Case 3：叔叔节点是黑色，且新节点是父节点的左子节点。
- 将父节点变黑，祖父节点变红，然后对祖父节点右旋。
举例
以下是向 std::map（底层红黑树）中插入节点的详细过程示例。假设我们要依次插入键 10、20、30、5、15，并逐步展示红黑树的调整过程。
插入步骤详解
1. 插入第一个节点 10
• 规则：根节点必须是黑色。
• 操作：直接插入为根节点，颜色设为黑色。
• 树结构：
10(B)
/ \
NIL NIL
2. 插入第二个节点 20
• 插入规则：新节点初始为红色。
• 操作：20 作为 10 的右子节点插入，颜色为红色。
• 检查冲突：父节点 10 是黑色，没有违反规则。
• 树结构：
10(B)
/ \
NIL 20(R)
/ \
NIL NIL
3. 插入第三个节点 30
• 插入位置：30 作为 20 的右子节点插入，颜色为红色。
• 冲突检查：
• 父节点 20(R) 是红色，违反规则4（红色节点的子节点必须为黑色）。
• 叔叔节点是 NIL（黑色，属于规则3的叶子节点）。
• 修复操作：进入 Case 2 → Case 3。
Case 2：叔叔节点是黑色，新节点是父节点的右子节点
• 操作：对父节点 20(R) 左旋。
• 旋转后结构：
10(B)
\
30(R)
/
20(R)
Case 3：叔叔节点是黑色，新节点是父节点的左子节点
• 操作：
- 将父节点
30(R)变为黑色。 - 将祖父节点
10(B)变为红色。 - 对祖父节点
10(B)右旋。
• 最终结构：
20(B)
/ \
10(R) 30(R)
4. 插入第四个节点 5
• 插入位置：5 作为 10(R) 的左子节点插入，颜色为红色。
• 冲突检查：
• 父节点 10(R) 是红色。
• 叔叔节点是 30(R)（红色）。
• 修复操作：进入 Case 1。
Case 1：叔叔节点是红色
• 操作：
- 将父节点
10(R)和叔叔节点30(R)变为黑色。 - 将祖父节点
20(B)变为红色。
• 最终结构：
20(R)
/ \
10(B) 30(B)
/
5(R)
5. 插入第五个节点 15
• 插入位置：15 作为 10(B) 的右子节点插入，颜色为红色。
• 冲突检查：
• 父节点 10(B) 是黑色，没有冲突。
• 树结构：
20(R)
/ \
10(B) 30(B)
/ \
5(R) 15(R)
最终红黑树验证
- 根节点为黑色：当前根节点
20是红色（违反规则2）→ 需要修复。
• 修复：将根节点强制设为黑色。
20(B)
/ \
10(R) 30(B)
/ \
5(R) 15(R)
-
红色节点规则：
•10(R)的子节点5(R)和15(R)违反规则4（红色节点不能有红色子节点）→ 需要修复。 -
修复
10(R)的子节点冲突：
• 选择5(R)或15(R)进行修复，以5(R)为例：
◦ 父节点10(R)是红色，叔叔节点30(B)是黑色。
◦ 进入 Case 2 → Case 3。
◦ 最终结构：
20(B)
/ \
15(B) 30(B)
/
10(R)
\
5(R)
关键点总结
- 插入新节点：初始为红色，按BST规则插入。
- 冲突修复：
• Case 1：叔叔节点是红色 → 颜色翻转。
• Case 2：叔叔节点是黑色，且新节点是右子节点 → 左旋。
• Case 3：叔叔节点是黑色，且新节点是左子节点 → 右旋 + 颜色调整。 - 根节点强制黑色：最终确保根节点为黑色。
通过上述步骤，红黑树始终保持平衡，确保 std::map 的插入、删除和查找操作高效（O(log n)）。
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