最长上升子序列 O(nlogn)解法 (java)

 

最长递增子序列问题：在一列数中寻找一些数，这些数满足：任意两个数a[i]和a[j]，若i<j，必有a[i]<a[j]，这样最长的子序列称为最长递增子序列。

   设dp[i]表示以i为结尾的最长递增子序列的长度，则状态转移方程为：

dp[i] = max{dp[j]+1}, 1<=j<i,a[j]<a[i].

   这样简单的复杂度为O(n^2)，其实还有更好的方法。

   考虑两个数a[x]和a[y]，x<y且a[x]<a[y],且dp[x]=dp[y]，当a[t]要选择时，到底取哪一个构成最优的呢？显然选取a[x]更有潜力，因为可能存在a[x]<a[z]<a[y]，这样a[t]可以获得更优的值。在这里给我们一个启示，当dp[t]一样时，尽量选择更小的a[x].

    按dp[t]=k来分类，只需保留dp[t]=k的所有a[t]中的最小值，设d[k]记录这个值，d[k]=min{a[t],dp[t]=k}。

    这时注意到d的两个特点（重要）：

1. d[k]在计算过程中单调不升；           

2. d数组是有序的，d[1]<d[2]<..d[n]。

    利用这两个性质，可以很方便的求解：

1. 设当前已求出的最长上升子序列的长度为len（初始时为1），每次读入一个新元素x：

2. 若x>d[len]，则直接加入到d的末尾，且len++；（利用性质2）

   否则，在d中二分查找，找到第一个比x小的数d[k]，并d[k+1]=x，在这里x<=d[k+1]一定成立（性质1,2）。

 

/** 
.最长递增子序列O(nlogn)算法： 
.状态转移方程：f[i] = max{f[i],f[j]+1},1<=j<i,a[j]<a[i]. 
.分析：加入x<y,f[x]>=f[y],则x相对于y更有潜力。 
.首先根据f[]值分类，记录满足f[t]=k的最小的值a[t],记d[k]=min{a[t]},f[t]=k. 
.    1.发现d[k]在计算过程中单调不上升 
.    2.d[1]<d[2]<...<d[k] (反证) 1 2 3 8 4 7 
.解法： 
.1. 设当前最长递增子序列为len,考虑元素a[i]; 
.2. 若d[len]<a[i],则len++，并将d[len]=a[i]; 
.   否则,在d[0-len]中二分查找,找到第一个比它小的元素d[k],并d[k+1]=a[i].() 
.*/  

/**
 * Created by guojun on 2015/9/25.
 */
public class MaxUpSequence {

    public static void main(String[] args) {
        int[] a = new int[20];
        for (int i = 0; i < a.length; i++) {
            a[i] = (int)( Math.random() * 100);
            System.out.print(a[i] + "\t");

        }
        System.out.println();
        int[] b = new int[a.length];
        b[0] = a[0];
        int len = findSeq(a, b);

        System.out.println(len);
    }

    public static int BinarySerch(int key, int[] a, int low, int high) {
        while (low <= high) {
            int mid = low + (high - low) / 2;
            if (key > a[mid] && key < a[mid + 1]) {
                return mid+1;
            } else if (key > a[mid]) {
                low = mid + 1;
            } else if (key < a[mid]) {
                high = mid - 1;
            }
        }
        return 0;
    }

    public static int findSeq(int[] a, int[] b) {
        if (a.length == 1) return 1;
        int len = 1;
        for (int i = 1; i < a.length; i++) {
            if (a[i] > b[len - 1]) {
                b[len] = a[i];
                len++;
            } else if (a[i] < b[len - 1]) {
                int j = BinarySerch(a[i], b, 0, len - 1);
                b[j] = a[i];
            }
        }
        return len;
    }

}