LC 10. 正则表达式匹配

1. 问题描述

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给你一个字符串 s 和一个字符规律 p，请你来实现一个支持 '.' 和 '*' 的正则表达式匹配。

• '.' 匹配任意单个字符
• '*' 匹配零个或多个前面的那一个元素

所谓匹配，是要涵盖 整个 字符串 s的，而不是部分字符串。

说明:

• s 可能为空，且只包含从 a-z 的小写字母。
• p 可能为空，且只包含从 a-z 的小写字母，以及字符 . 和 *。

示例 1
输入:
s = "aa"
p = "a"
输出: false
解释: "a" 无法匹配 "aa" 整个字符串。

示例 2
输入:
s = "aa"
p = "a*"
输出: true
解释: 因为 '*' 代表可以匹配零个或多个前面的那一个元素,
在这里前面的元素就是 'a'。
因此，字符串 "aa" 可被视为 'a' 重复了一次。

示例 3
输入:
s = "ab"
p = ".*"
输出: true
解释: ".*" 表示可匹配零个或多个（'*'）任意字符（'.'）。

示例 4
输入:
s = "aab"
p = "c*a*b"
输出: true
解释: 因为 '*' 表示零个或多个，这里 'c' 为 0 个, 
'a' 被重复一次。因此可以匹配字符串 "aab"。

示例 5
输入:
s = "mississippi"
p = "mis*is*p*."
输出: false 

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2. 题解

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方法一、动态规划

题目中的匹配是一个「逐步匹配」的过程：每次从字符串 p 中取出一个字符或者「字符 + 星号」的组合，并在 s 中进行匹配。对于 p 中一个字符而言，它只能在 s 中匹配一个字符，匹配的方法具有唯一性；而对于 p 中「字符 + 星号」的组合而言，它可以在 s 中匹配任意自然数个字符，并不具有唯一性。因此可以考虑使用动态规划，对匹配的方案进行枚举。

用 f[i][j] 表示 s 的前 i 个字符与 p 中的前 j 个字符是否能够匹配。在进行状态转移时，考虑 p 的第 j 个字符的匹配情况：

细节：动态规划的边界条件为 f[0][0]=true，即两个空字符串是可以匹配的。最终的答案即为 f[m][n]，其中 m 和 n 分别是字符串 s 和 p 的长度。

来源：https://leetcode-cn.com/u/newhar/
以一个例子详解动态规划转移方程：
S = abbbbc
P = ab*d*c
1. 当 i, j 指向的字符均为字母（或 '.' 可以看成一个特殊的字母）时，
   只需判断对应位置的字符即可，
   若相等，只需判断 i,j 之前的字符串是否匹配即可，转化为子问题 f[i-1][j-1].
   若不等，则当前的 i,j 肯定不能匹配，为 false.
   
       f[i-1][j-1]   i
            |        |
   S [a  b  b  b  b][c] 
   
   P [a  b  *  d  *][c]
                     |
                     j
   

2. 如果当前 j 指向的字符为 '*'，则不妨把类似 'a*', 'b*' 等的当成整体看待。
   看下面的例子

            i
            |
   S  a  b [b] b  b  c  
   
   P  a [b  *] d  *  c
            |
            j
   
   注意到当 'b*' 匹配完 'b' 之后，它仍然可以继续发挥作用。
   因此可以只把 i 前移一位，而不丢弃 'b*', 转化为子问题 f[i-1][j]:
   
         i
         | <--
   S  a [b] b  b  b  c  
   
   P  a [b  *] d  *  c
            |
            j
   
   另外，也可以选择让 'b*' 不再进行匹配，把 'b*' 丢弃。
   转化为子问题 f[i][j-2]:

            i
            |
   S  a  b [b] b  b  c  
    
   P [a] b  *  d  *  c
      |
      j <--

3. 冗余的状态转移不会影响答案，
   因为当 j 指向 'b*' 中的 'b' 时, 这个状态对于答案是没有用的,
   原因参见评论区 稳中求胜 的解释, 当 j 指向 '*' 时,
   dp[i][j]只与dp[i][j-2]有关, 跳过了 dp[i][j-1].

代码

class Solution {
    public boolean isMatch(String s, String p) {
        int m = s.length();
        int n = p.length();

        //该数组默认的元素是false
        //用 f[i][j] 表示 s 的前 i 个字符与 p 中的前 j 个字符是否能够匹配
        boolean[][] f = new boolean[m + 1][n + 1];
        f[0][0] = true;

        //i 为 0，j 不为 0。需要判断，可能存在匹配。因为 * 可以消掉一个字符。
        //i 不为 0，j 为 0。则一定不匹配。因此从 j=1 开始判断。
        //i=1 表示 s 的第一个字符，其在字符串中的索引对应着0！
        for(int i=0; i<=m; i++){
            for(int j=1; j<=n; j++){
                if(p.charAt(j - 1)=='*'){
                    f[i][j] = f[i][j-2];
                    if(matches(s, p, i, j-1)){
                        f[i][j] = f[i][j] || f[i-1][j];
                    }
                }else{
                    if(matches(s, p, i, j)){
                        f[i][j] = f[i-1][j-1];
                    }
                }
            }

        }
        return f[m][n];

    }

     public boolean matches(String s, String p, int i, int j) {
         //双for循环i从0开始而j从1开始，所以此处只需要判断i的值是否合法。
        if (i == 0) {
            return false;
        }
        if (p.charAt(j - 1) == '.') {
            return true;
        }
        return s.charAt(i - 1) == p.charAt(j - 1);
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(mn)，其中 m 和 n 分别是字符串 s 和 p 的长度。需要计算出所有的状态，并且每个状态在进行转移时的时间复杂度为 O(1)。

• 空间复杂度：O(mn)，即为存储所有状态使用的空间。