LC 4. 寻找两个正序数组的中位数
1. 问题描述
给定两个大小为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。请你找出并返回这两个正序数组的中位数。
进阶：你能设计一个时间复杂度为 O(log (m+n)) 的算法解决此问题吗？
示例 1
输入：nums1 = [1,3], nums2 = [2]
输出：2.00000
解释：合并数组 = [1,2,3] ，中位数 2
示例 2
输入：nums1 = [1,2], nums2 = [3,4]
输出：2.50000
解释：合并数组 = [1,2,3,4] ，中位数 (2 + 3) / 2 = 2.5
示例 3
输入：nums1 = [0,0], nums2 = [0,0]
输出：0.00000
示例 4
输入：nums1 = [], nums2 = [1]
输出：1.00000
示例 5
输入：nums1 = [2], nums2 = []
输出：2.00000
提示
nums1.length == m
nums2.length == n
0 <= m <= 1000
0 <= n <= 1000
1 <= m + n <= 2000
-106 <= nums1[i], nums2[i] <= 106
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2. 题解
方法一、合并后查找
给定两个有序数组，要求找到两个有序数组的中位数，最直观的思路有以下两种：
-
使用归并的方式，合并两个有序数组，得到一个大的有序数组。大的有序数组的中间位置的元素，即为中位数。
-
不需要合并两个有序数组，只要找到中位数的位置即可。由于两个数组的长度已知，因此中位数对应的两个数组的下标之和也是已知的。维护两个指针，初始时分别指向两个数组的下标 0 的位置，每次将指向较小值的指针后移一位（如果一个指针已经到达数组末尾，则只需要移动另一个数组的指针），直到到达中位数的位置。
假设两个有序数组的长度分别为 m 和 n，上述两种思路的复杂度如何？
-
第一种思路的时间复杂度是
O(m+n)，空间复杂度是O(m+n)。 -
第二种思路虽然可以将空间复杂度降到
O(1)，但是时间复杂度仍是O(m+n)。
方法二、二分查找
如何把时间复杂度降低到 O(log(m+n)) 呢？如果对时间复杂度的要求有 log，通常都需要用到二分查找。
根据中位数的定义，当 m+n 是奇数时，中位数是两个有序数组中的第 (m+n)/2+1 个元素，当 m+n 是偶数时，中位数是两个有序数组中的第 (m+n)/2 个元素和第 (m+n)/2+1 个元素的平均值。因此，这道题可以转化成寻找两个有序数组中的第 k 小的数，其中 k 为 (m+n)/2 或 (m+n)/2+1。
假设两个有序数组分别是 A 和 B。要找到第 k 个元素，可以比较 A[k/2−1] 和 B[k/2−1]，其中 / 表示整数除法。由于 A[k/2−1] 和 B[k/2−1] 的前面分别有 A[0..k/2−2] 和 B[0..k/2−2]，即 k/2−1 个元素，对于 A[k/2−1] 和 B[k/2−1] 中的较小值，最多只会有 (k/2−1)+(k/2−1)≤k−2 个元素比它小，那么它就不能是第 k 小的数了。
因此可以归纳出三种情况：
-
如果
A[k/2−1]<B[k/2−1]，则比A[k/2−1]小的数最多只有A的前k/2−1个数和B的前k/2−1个数，即比A[k/2−1]小的数最多只有k−2个，因此A[k/2−1]不可能是第k个数，A[0]到A[k/2−1]也都不可能是第k个数，可以全部排除。 -
如果
A[k/2−1]>B[k/2−1]，则可以排除B[0]到B[k/2−1]。 -
如果
A[k/2−1]=B[k/2−1]，则可以归入第一种情况处理。
可以看到，比较 A[k/2−1] 和 B[k/2−1] 之后，可以排除 k/2 个不可能是第 k 小的数，查找范围缩小了一半。同时，将在排除后的新数组上继续进行二分查找，并且根据排除数的个数，减少 k 的值，这是因为排除的数都不大于第 k 小的数。
🍒有以下三种情况需要特殊处理：
-
如果
A[k/2−1]或者B[k/2−1]越界，那么可以选取对应数组中的最后一个元素。在这种情况下，必须根据排除数的个数减少k的值，而不能直接将k减去k/2。 -
如果一个数组为空，说明该数组中的所有元素都被排除，可以直接返回另一个数组中第
k小的元素。 -
如果
k=1，只要返回两个数组首元素的最小值即可。
明确 k：第 k 个小的元素，不是指的索引！
class Solution {
public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
int length1 = nums1.length, length2 = nums2.length;
int totalLength = length1 + length2;
if(totalLength % 2 ==1 ){
int midIndex = totalLength / 2;
double median = getKthElement(nums1, nums2, midIndex+1);
return median;
}else{
int midIndex1 = totalLength / 2 - 1, midIndex2 = totalLength / 2;
double median = (getKthElement(nums1, nums2, midIndex1+1) + getKthElement(nums1, nums2, midIndex2+1))/2.0;
return median;
}
}
public int getKthElement(int[] nums1, int[] nums2, int k){
int length1 = nums1.length, length2 = nums2.length;
int index1 = 0, index2 = 0;
while(true){
//边界处理
if(index1==length1) return nums2[index2+k-1];
if(index2==length2) return nums1[index1+k-1];
if(k==1) return Math.min(nums1[index1], nums2[index2]);
//正常情况下
int half = k/2;
int newIndex1 = Math.min(index1+half, length1)-1;
int newIndex2 = Math.min(index2+half, length2)-1;
if(nums1[newIndex1]<=nums2[newIndex2]){
k -= (newIndex1-index1+1);
index1 = newIndex1 + 1;
}else{
k -= (newIndex2-index2+1);
index2 = newIndex2 + 1;
}
}
}
}
复杂度分析
-
时间复杂度：
O(log(m+n))，其中 m 和 n 分别是数组 nums1 和 nums2 的长度。初始时有k=(m+n)/2或k=(m+n)/2+1，每一轮循环可以将查找范围减少一半，因此时间复杂度是O(log(m+n))。 -
空间复杂度：
O(1)。
方法三、划分数组
时间复杂度更低，O(log min(m,n)))
class Solution {
public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
if (nums1.length > nums2.length) {
return findMedianSortedArrays(nums2, nums1);
}
int m = nums1.length;
int n = nums2.length;
int left = 0, right = m;
// median1：前一部分的最大值
// median2：后一部分的最小值
int median1 = 0, median2 = 0;
while (left <= right) {
// 前一部分包含 nums1[0 .. i-1] 和 nums2[0 .. j-1]
// 后一部分包含 nums1[i .. m-1] 和 nums2[j .. n-1]
int i = (left + right) / 2;
int j = (m + n + 1) / 2 - i;
// nums_im1, nums_i, nums_jm1, nums_j 分别表示 nums1[i-1], nums1[i], nums2[j-1], nums2[j]
int nums_im1 = (i == 0 ? Integer.MIN_VALUE : nums1[i - 1]);
int nums_i = (i == m ? Integer.MAX_VALUE : nums1[i]);
int nums_jm1 = (j == 0 ? Integer.MIN_VALUE : nums2[j - 1]);
int nums_j = (j == n ? Integer.MAX_VALUE : nums2[j]);
if (nums_im1 <= nums_j) {
median1 = Math.max(nums_im1, nums_jm1);
median2 = Math.min(nums_i, nums_j);
left = i + 1;
} else {
right = i - 1;
}
}
return (m + n) % 2 == 0 ? (median1 + median2) / 2.0 : median1;
}
}
浙公网安备 33010602011771号