算法篇
算法 Algorithm
模拟 Simulation
模拟是基础，体现出你的代码能力，同时也考察你的阅读理解，以及情况是否考虑清楚
基本功：字符串输入[蓝桥杯 2022 国 AC] 内存空间
计算某年某月某日是星期几：如果纯模拟非常麻烦，但是用蔡勒公式非常简便
点击查看代码
int weekday(int y, int m, int d)
{
if (m <= 2) m += 12, --y;
int w;
if (y < 1582 || (y == 1582 && (m < 10 || (m == 10 && d <= 4))))
// 儒略历
w = (d + 2*m + 3*(m+1)/5 + y + y/4 + 5) % 7;
else
// 格里高利历
w = (d + 2*m + 3*(m+1)/5 + y + y/4 - y/100 + y/400) % 7;
return w; // 0=Sun,1=Mon,...,6=Sat
}
排序 sort
排序的算法有很多，大多数时候常用快速排序，其他的排序了解即可
-
简单思维题: 交换相邻元素
-
微扰法(排序不等式
全局最优的必要条件是 “局部无法通过微小调整（如交换相邻元素）优化目标
J. Stacking of Goods: 实际体积\(x_i = v_i - c_i × W_i\),v不变，只需要使得c*w最大,考虑相邻两个A,B。A在上和A在下的贡献差,\(Δ = [c_B(w_A + W_{up}) + c_A *W_{up}] - [c_A* (w_B + W_{up}) + c_B* W_{up}]= c_B * w_A - c_A *w_B\)，发现Δ<0时，需要A在下，\(c*w_{up}\)更大
D. A Cruel Segment's Thesis:考虑交换两个区间，当他们合并之后的区间更大就交换，奇数时需要考虑，中间未被计量的区间是-l更小还是+r更大
快排使用方法
快速排序，除了调用函数sort以外，还能这样使用：
bool cmp(int a,int b){
return a>b；
}
灵活地根据题目要求排序
递归
贪心 Greedy
贪心最难的不是怎么贪，最难的是证明
经典题
区间选点
均分纸牌
变式：七夕祭：可以看作环形的均分纸牌，题解
排队接水：排序不等式
经典题总结
反悔贪心
反悔贪心的本质在于，先贪心，在过程中发现，摒弃贪过的最坏情况，再继续贪
（建议掌握stl之后再做）
考虑先贪心完成时间最先出现的工作，但是后加入的工作超出当前日期，则踢出最小值（反悔），（以下两个题是一样的）
超市
P2949 [USACO09OPEN] Work Scheduling G
P4053 [JSOI2007] 建筑抢修:先抢修快坏的，再考虑剔除抢修时间多的
简单题
B. Shrinking Array
D - Transmission Mission:用最小的距离包括最多的基站
小红的01串：最终构造的形式就两种（注意到这点很关键），分别计算构造成两种形式所需最短次数就行
- 对答案的贡献
战前准备:验证每个循环后的数组是否满足条件，暴力显然超时，而考虑对答案的贡献会发现，循环k和k+1位，影响只在于a[k]对答案产生的影响
C2. The Cunning Seller (hard version):可以计算出最少次数，若最少次数都不满足输出-1，如有的多余的次数，那么可以发现将一次性交易\(3^{x+1}\)数量的西瓜换成3次交易\(3^{x}\)数量的西瓜所需费用更少 - 简单变换公式
D - Match, Mod, Minimize 2:\(\sum_{i=1}^{n} (a_i+b_i) \mod M =\sum_{i=1}^{n} (a_i+b_i)-cM\)最大化c
模型 Model
除此之外，贪心经常与其他算法结合，还有很多模型需要总结
-
区间模型
小红的区间修改（一）：鉴于多次询问且不能覆盖重复区间，所以已有的点存入集合，同时用二分在有序集合判断，是否有在之前重复存在的点
扩展合法区间法：
-数组的贡献:经典处理手法，对于\(a_i\)，合法的左右端点必须小于等于\(a_i\),分别处理后相乘即可，需要用到树状数组
-「LAOI-15」天天爱阅读:这经典的处理方法，考虑每个价值对答案的贡献，扩展区间范围，计算能作出贡献的区间数量
固定R,寻找合法的L法：小苯的数组计数:（前置知识：单调栈）固定右端点，找距离右端点最近的大于等于右端点的数，若是等于则无合法区间，如果是大于，有且仅有一个，对于小于右端点的，翻转处理 -
逆序对
逆序对有三种求法，冒泡排序，归并排序，树状数组
经典：奇数码问题:非常好的题解
冒泡排序和逆序对的联系：超快速排序，冒泡排序本身是交换相邻元素（左边大于右边），而与相邻元素交换一次，就减少一对
枚举答案
与二分答案其实类似，我们可以判断出答案的范围，并知道答案是单调的
- [蓝桥杯 2022 国 A] 最大公约数 ：从小到大枚举区间长度检验gcd(a[i]~a[j])是否为1,题解
二进制问题 Binary problem
- 直接法
Make It Beautiful:为了数组内，二进制下的1的数量最多，需要不断的使低二进制位有1，对于i个二进制位，消耗1<<i的操作次数. - 结论
纯粹的数学符号: $ (a_i | a_j)$ + \((a_i \& a_j)\)= $a_i + a_j $，用单独的一位bit可证
有些题明显涉及到二进制，直接求解会超时，而从二进制的角度求解反而更加简单
-
求值
E. Boneca Ambalabu，直接异或超时，而统计每一个位上1的个数，然后按位异或，就能高效解决。题解 -
构造
汉堡猪猪分糖果:显而易见尽量在高位全部分配1，难点在于某位不够分，这时分类讨论，该位不分配，后面取1能够分完，否则该位选取一些分配，使得后面的位数全部取1 -
二进制枚举
通过枚举所有二进制表示所有情况,一般适用于总情况较少的时候
116. 飞行员兄弟：可以尝试所有开关方式
C - Bipartize:因为n较小，01表示在二分图的一侧或另一侧，检验每种情况 -
枚举二进制的子集的方法
点击查看代码
for (int s = n; ; s = (s - 1) & n) {
与优先队列结合 Combined with priority queue
经典：
ProblemC.GooseGooseDuck:对于当前人数now,尽可能从l<=now的区间内，选出最小的大于now的r区间，用优先队列来维护l<=now的区间
井然有序之窗：题解
二分
二分主要是：二分查找与二分答案
总结
经典题：
交互题
- 2024 ICPC National Invitational Collegiate Programming Contest, Wuhan SiteF. Custom-Made Clothes
2024 Jiangsu Collegiate Programming Contest: I. Integer Reaction,经典的二分答案设问方式 “ find the maximum possible value of the smallest element in \(S_2\) after processing the last element. ”
线性复杂度优化技巧
差分 Differential
- 一维差分
- 线段区间覆盖：
胖达的山头,题解
最高的牛：可以推出不存在区间交叉，注意：可能有重复区间出现 - 角度区间覆盖（稍稍变型）：[蓝桥杯 2025 省 A] 地雷阵,题解
- 离散化差分: 1952. 金发姑娘和 N 头牛
- 双重差分： 平衡细菌，题解
- 进阶(增加对差分的理解)：增减序列
- 二维差分
A. 整点正方形计数2:枚举不同状态的正方形，考虑合法的点形成这样的正方形
总结：差分使用的时机，是一种静态的区间修改，对于我们进行区间内改变相同的值或者求某一个点值因此修改后的值时，可以降低时间复杂度
前缀和 Prefix
- 一维前缀和
分段化：这个考法较为常见，主要是需要将区间划为3段，利用前缀和记录间接计算区间值
-截断数组,题解
-小红的华撃串:注意到01，10的产生只会在连续的0,1的交界处，最终的状态可用0101，1010表示，于是可以枚举三个间断点，计算变成最终态的最少次数，用前缀和记录某个区间内变成0或者1的次数
-气球谜题,题解
经典：- 计算\(\sum_{i} a_i*a_j\)，令\(sum_i=\sum_{k=1}^{k=i}a_i\)，则\(\sum a_i*a_j=\sum a_i*sum_{i}\)
- 判断两数或者符号在区间内数量相同 令a=-1,b=1,sum[r]=sum[l-1]时，[l,r]区间内a,b数量相同
C. Monocarp's String
中等题：
C. Incremental Stay：前缀和的变形
C - Rotate and Sum Query:难点在于求和的范围
2. 二维前缀和
二维的公式更为复杂，画图更好理解：
激光炸弹
A - 2x2 Erasing:读懂题
- 树上前缀和
J. January's Color:需学会LCA
总结：与差分类似，前缀和是差分的逆，差分也是前缀和的逆
双指针
E. Split: 固定左端点计算，扩展区间右端点，对区间的贡献
L. Let's Make a Convex!:多边形的充分必要条件：任意边小于其他边的之和，此题中，对于边数为k的最大值，能形成多边形的必然从大到小连续的k个值，同时也能发现，若以l为左端点的长度为k的区间无法形成多边形，那么k-1的区间也无法形成
动态规划
动态规划，主要的是弄清楚，状态的定义和状态的转移
状态的定义有许多不同的模型需要总结，背包就是一类典型
小tips:如果发现题目能用搜索解决，很有可能也可以用DP解决
线性DP经典模型
下标的转移
- 编辑距离: 以字符串形式出现，但本质未变
- 同时存在多种dp，相互关联:例如 DP[i][0]和DP[i][1]
- 小红的01串（五）:对于"?"，需要同时转移
- Yummy:需要分别考虑，当前位置i为前缀和为\(0，-k^{i+1},k^{i+1}\) 三种情况
- C. Non-Descending Arrays
- 小苯的数字变换: 计算满足条件区间的典题
- 从后往前转移：当我们设计的状态是从当前状态开始转移到末态时，那么就需要从后往前进行动态规划
Takahashi's Expectation：设计状态为dp[i][j]是收到第i个礼物后，心情为j，到最终心情，因为此时的状态只由后方的状态确定，所以从后往前dp
-
数字三角形
P1216 [IOI 1994 / USACO1.5] 数字三角形 Number Triangles
P1004 [NOIP 2000 提高组] 方格取数
传纸条 -
整数划分
整数划分的状态转移：dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-j][j]//+之前，代表i分出一个新的数给新的一个，+之后，和为i，分成j个数，包含和为i-j分成j个数都的方案数（可以看成i个数都-1）
饼干：(贪心)排序不等式+整数划分的转移方法
通过值的转移，而非下标转移
下标的转移有时候不一定能达到想要的时间复杂度，最长上升子序列的优化也是通过这一思想达到的
- 森友会里打音游: 以值为状态，值的约数，倍数关系为状态转移关系
方案问题
这两个题都是典型问题，必会
放苹果：苹果是相同的
隔板：小球是不同的
概率问题
D. Segments Covering:设f[x]为从1到x，选取一些线段，恰好一次覆盖的概率，但是忽略了未选的概率，解决办法：存在概率/不存在概率 作为答案 ，最后在乘上所有不存在的概率的总和，就是答案，没选上的等于乘上了它的不存在概率，选上了再乘不存在概率就是存在概率
线性DP练习题：
-
具有明显转移关系
小彩的数组选数:类似于打家劫舍
蓝：这个题需要估计转移次数最多为\(\log_2^{N}\)次，转移关系就是题目所说.
移动服务：难点在于状态的设计，需要一个状态表示三个服务员的位置，开一个三维状态，注意服务员不具有特殊性，所以每一维并不指定某个服务员，一起表示三个服务员的位置，其中一维需要表示处理第i个请求的位置
C. Against the Difference:令dp[i]为前i个最长的分块，dp[i]要么等于前一个，要么从当前加入当前的数字分块，此时需要需要计算当前数字x前x的下标y,dp[i]=dp[y]+x; -
注意到转移关系优化时间复杂度
Toxel 与 PCPC II:x的四次方决定最多往后转移22个状态
背包
f[i][j]代表前i种物品，背包容量为j时可以取得最大价值
除了掌握基本模型，这里还有个滚动数组，需要学习
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for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=m;j>=v[i];--j)
f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
补充模板题
较难变式
二小姐取数
与01背包不同的是，物品可以无限选择，只需要改变状态转移就可以
由前往后转移，在有限的容量多次选择同一物品
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for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=m;++j){
f[i][j]=f[i-1][j];//不选当前
if(j>=v[i])
f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
}
小红的01串（easy）:长度为i的1串，贡献i*(i+1)的子串，可以重复选，所以可以套用完全完全背包的思想
小红的01串（hard）:在上题的基础，同时记录方案构成
D. Inversion Value of a Permutation: 基本做法与上述两道题相似，再加一点正难则反的思维
多重背包又有所不同，物品变成有限次数
也可以转化成01，背包的思想，将有限物品拆分成表示成0,1,2,..,k件，每i件看成一个整体，选与不选
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for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=m;++j)
for(int k=0;k<=s[i];++k)
if(j>=k*v[i])
f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
优化的核心在于，我们其实可以知道，构成最大的价值的背包中一定装了x件某个物体，而x一定可以由二进制表示出来，所以将物体的件数，拆分成二进制数，多余的数也看成一个整体，价值也与之对应
通过01的背包的做法，一样能够选出最大价值
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for(int i=1;i<=n;++i) {
int a,b,c;
cin>>a>>b>>c;
int t=1;
while(t<=c){
v[cnt]=t*a;
w[cnt++]=t*b;
c-=t;
t*=2;
}
if(c>0){
v[cnt]=c*a;
w[cnt++]=c*b;
}
}
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for(int i=1;i<=n;++i){
for(int j=m;j>=0;--j){
for(int k=0;k<s;++k){//s是组内数量
if(j-v[k]>=0)f[j]=max(f[j],f[j-v[k]]+w[k]);
}
}
}
区间DP
- 经典题：
- 石子合并：模板题
变式：[NOI1995] 石子合并：实际上是环形的石子合并，破环成链的操作（必会） - D. Palindromic Distance:回文串+区间dp
- 石子合并：模板题
- 最优子结构
多边形：注意，乘法时的最优子结构不一定是由小区间的最大值相乘得到的
树形DP
以树的关系为转移
经典例题：没有上司的舞会
练习题：
F. Sheriff's Defense
状压DP
状压DP顾名思义利用状态压缩来实现DP，常用二进制来表示压缩后的状态
- 典型例题：
最短Hamilton路径
C - Mixture - 简单变式：
[蓝桥杯 2019 省 A] 糖果，每包糖果具有的口味可以看成M位的二进制串(状态)，而状态的转移通过每包糖 - Kingdom Path: 很明显地涉及到二进制，提醒我们从二进制的角度思考问题
- Bracket Counting:结合括号串性质的状压
分治
分治思想
根号分治
G序列与整数对:题解
F. Remainder Problem:注意数据范围
搜索 Search
DFS
深度优先搜索，以搜索的深度优先.
-
小红与好数组:简单
-
小猫爬山:深搜的对象是缆车，枚举所有把猫分到不同合法缆车的可能
-
新婚:显然的需要预处理，搜索的同时记录路径组成的二进制数，枚举其子集，标记对应的十进制数
-
连通性
4004. 传送阵- 类似做法的题：F幻形之路
-
剪枝
小苯的前缀gcd构造:简单剪枝
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