导数的几何应用

导数的几何应用

单调性

利用单调性证明不等式
通过判断函数的单调性，我们可以比较函数在不同点处的值的大小，证明不等式

定义

如果对于区间\(I\)上任意两点\(x_1,x_2(x_1 < x_2)\)，恒有\(f(x_1) < f(x_2)\)，则函数\(f(x)\)在\(I\)上单调递增；反之，若恒有\(f(x_1) > f(x_2)\)，则函数单调递减。

判定方法：

利用导数。当函数的导数在区间上大于\(0\)时，函数单调递增；导数小于\(0\)时，函数单调递减

极值

极值是函数在局部范围内的最值,其必要条件是\(f'(x_0)=0\)（若有，则为\(0\)，可导极值点为驻点），但这只是必要条件，并非充分条件。

充分条件

1. \(f(x)\)在\(x_0\)处连续且在\(x_0\)两侧异号

2. \(f'(x_0)=0\)且\(f''(x_0)\neq0\)

求最值的方法：

首先，找出\((a,b)\)上所有驻点和不可导点。这些点是可能的极值点

然后，求出上述点的函数值以及端点值\(f(a),f(b)\)。

最后，其中最大的为最大值，最小的为最小值

凹凸性

定义

设\(f(x)\)在区间\(I\)上连续，在\((a,b)\)内可导，若对于任意\(x_1,x_2\in(a,b)\)恒有\(f(\frac{x_1 + x_2}{2}) < \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}\),则\(f(x)\)在\(I\)上的图形是凹的（或凹弧）；

反之，若\(f(\frac{x_1 + x_2}{2}) > \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}\)，则图形是凸的（或凸弧）。

判别方法

1）区间上\(f'\)单减，曲线为凸；\(f'\)单增，曲线为凹。
2）区间上\(f''>0\)，曲线为凹；\(f''<0\)，

拐点

• 定义与条件：
  • 拐点是连续曲线上凹凸的分界点。其必要条件是\(f''(x_0)\)若有，则为\(0\)（无要求）。
  • 充分条件有两条：第一，\(f(x)\)在\(x_0\)处连续且\(f''\)在\(x_0\)两侧异号；第二，(f'(x_0)=0)且(f'''(x_0)\neq0)。此外，还有推广的充分条件，设在(x_0)处(n)阶可导的函数(f(x))满足\(f'(x_0)=f''(x_0)=\cdots=f^{(n - 1)}(x_0)=0,f^{(n)}(x_0)\neq0\)，则若\(n\)为奇数，\((x_0,f(x_0))\)是(y = f(x))的拐点；若\(n\)为偶数，则\(x = x_0\)是极值点。
• 求拐点步骤：
  • 先求\(f''\)，找出\(f''=0\)和\(f''\)不存在的点。
  • 再检验上述每个点的充分条件，从而确定拐点。这些神秘的拐点就像函数图像上的转折点，标志着曲线凹凸性的变化，让函数图像更加丰富多彩。

渐近线

定义与分类：
渐近线是函数图像在无穷远处的趋势线，有三种类型

铅直渐近线：若\(\lim_{x \to a^+}f(x)=\infty\)或\(\lim_{x \to a^-}f(x)=\infty\)，则\(x = a\)为曲线\(y = f(x)\)的一条铅直渐近线。

水平渐近线：若\(\lim_{x \to +\infty}f(x)=b\)或\(\lim_{x \to -\infty}f(x)=b\)，则\(y = b\)是曲线\(y = f(x)\)的一条水平渐近线。

斜渐近线：若\(\lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x}=a(a\neq0)\)存在且\(\lim_{x \to \infty}[f(x)-ax]=b\)存在，或\(\lim_{x \to -\infty}\frac{f(x)}{x}=a(a\neq0)\)且\(\lim_{x \to -\infty}[f(x)-ax]=b\)，则\(y = ax + b\)是曲线\(y = f(x)\)的一条斜渐近线。

找渐近线的步骤：

看铅直，找到\(f(x)\)的无定义点和分段点\(x_0\)，求\(\lim_{x \to x_0}f(x)\)，若为无穷大，则\(x = x_0\)为铅直渐近线（只需在\(x = x_0\)单侧极限为无穷，即有\(x = x_0\)为铅直渐近线）。

看水平，求\(\lim_{x \to +\infty}f(x)\)和\(\lim_{x \to -\infty}f(x)\)，若存在极限\(A\)，则\(y = A\)为水平渐近线。

斜渐近线，若\(x \to +\infty\)或\(x \to -\infty\)时无水平渐近线，则考虑该趋向的斜渐近线。求\(\lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x}\)，若存在非零极限\(a\)，则再求\(\lim_{x \to \infty}[f(x)-ax]\)的极限\(b\)，若极限存在，则\(y = ax + b\)为斜渐近线

曲率与曲率圆

曲率公式：

曲线\(y = f(x)\)的曲率计算公式为\(K = \frac{|y''|}{(1 + y'^{2})^{\frac{3}{2}}}\)，它精确地度量了曲线在某点处的弯曲程度。曲率越大，曲线在该点处弯曲得越厉害；曲率越小，曲线越平缓。
对于参数方程\(\begin{cases}x = x(t)\\y = y(t)\end{cases}\)表示的曲线，曲率计算公式为\(K = \frac{|x'(t)y''(t) - x''(t)y'(t)|}{(x'^{2}(t) + y'^{2}(t))^{\frac{3}{2}}}\)。

曲率半径与曲率中心：

曲率半径\(\rho = 1/K\)，它是与曲率相对应的一个概念，反映了曲线在某点处的弯曲程度的倒数。

曲率中心的坐标公式为\(\begin{cases}\alpha = x - \frac{y'(1 + y'^{2})}{y''}\\\beta = y + \frac{1 + y'^{2}}{y''}\end{cases}\)

曲率圆方程为\((x - \alpha)^{2} + (y - \beta)^{2} = \rho^{2}\)