行列式
行列式
行列式的定义
1.n级排列，逆序，逆序数（决定奇偶性），对换
2.（1）排列经过对换后，奇偶性改变 （2）n个数有n!种排列，奇偶排列各一半
3.n阶行列式
\[\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n}\\
a_{12} & a_{22} & \cdots &a_{2n}\\
\cdots & \cdots & \cdots &\cdots\\
a_{1n} & \cdots & \cdots &a_{nn}\\
\end{vmatrix}=\displaystyle\sum_{j_{1},j_{2},\cdots,j_{n}}(-1)^{r(j_{1},j_{2},\cdots,j_{n})}a_{1j_1},a_{2j_2},\cdots,a_{nj_n}
\]
4.常见行列式
（1）二，三阶行列式
（2）L,U行列式
（3）副对角线行列式
（5）范德蒙行列式（数学归纳法可证明）
\[\begin{vmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1\\
a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n}\\
a_{1}^2 & a_{2}^2 & \cdots & a_{n}^2\\
\cdots & \cdots & \cdots &\cdots\\
a_{1}^{n-1} & \cdots & \cdots &a_{n}^{n-1}\\
\end{vmatrix}=\prod_{1<=j<i<=n}(a_i-a_j)
\]
题型与解法
- 计算逆序数和奇偶性
- 行列式定义
计算某一个\(a_{1j_1},a_{2j_2},\cdots,a_{nj_n}\)，去除选择的元素同行同列再选择下一个
行列式的性质
- \(det(I)=1\)
- 若交换$row_i,row_j $ or \(column_i,column_j ,det(A)=-det(A')\)(A`是交换后的行列式)
- 从这个我们可以推出若 \(row_i,row_j\)or \(column_i,column_j,det(A)=0\)，交换两个相同的行列式，\(det(A)=-det(A)\)所以det(A)=0
- 可以从row or column提取公因子在行列式前面
\[\begin{vmatrix}
t*a_{11} & t*a_{12} & \cdots &a_{1i} & \cdots &t*a_{1n}\\
a_{12} & a_{22} & \cdots &a_{2i} &\cdots & a_{2n}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\cdots & \cdots\\
a_{1n} & \cdots & \cdots &a_{ni} &\cdots & a_{nn}\\
\end{vmatrix}=t\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1i} & \cdots &a_{1n}\\
a_{12} & a_{22} & \cdots &a_{2i} &\cdots & a_{2n}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\cdots & \cdots\\
a_{1n} & \cdots & \cdots &a_{ni} &\cdots & a_{nn}\\
\end{vmatrix}
\]
- \(det(A)=det(A^T)\)
\[D=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1i}+b_{1i} & \cdots &a_{1n}\\
a_{12} & a_{22} & \cdots &a_{2i}+b_{2i} &\cdots & a_{2n}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\cdots & \cdots\\
a_{1n} & \cdots & \cdots &a_{ni}+b_{1i} &\cdots & a_{nn}\\
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1i} & \cdots &a_{1n}\\
a_{12} & a_{22} & \cdots &a_{2i} &\cdots & a_{2n}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\cdots & \cdots\\
a_{1n} & \cdots & \cdots &a_{ni} &\cdots & a_{nn}\\
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots &b_{1i} & \cdots &a_{1n}\\
a_{12} & a_{22} & \cdots &b_{2i} &\cdots & a_{2n}\\
\cdots & \cdots & \cdots &\cdots &\cdots & \cdots\\
a_{1n} & \cdots & \cdots &b_{1i} &\cdots & a_{nn}\\
\end{vmatrix}
\]
\[\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1i} & \cdots &a_{1n}\\
a_{12} & a_{22} & \cdots &a_{2i} &\cdots & a_{2n}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\cdots & \cdots\\
a_{1n} & \cdots & \cdots &a_{ni} &\cdots & a_{nn}\\
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1i}+k*a_{1j} & \cdots &a_{1n}\\
a_{12} & a_{22} & \cdots &a_{2i}+k*a_{2j} &\cdots & a_{2n}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\cdots & \cdots\\
a_{1n} & \cdots & \cdots &a_{ni}+k*a_{nj}&\cdots & a_{nn}\\
\end{vmatrix}(k为任意常数)
\]
此性质可以用性质2，3，5证明
题型与解法
- 直接用性质计算
- 用性质证明
行列式展开
余子式\(M_{ij}\)
代数余子式\(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\)
k阶子式任意k行k列交叉得到的\(k^2\)个元素,构成一个k阶子式
2.用代数余子式展开
3.拉普拉斯定理：分块相乘（数学归纳法可证）
题型与解法
- 代数余子式与余子式区分
\(A_ij=(-1)^{i+j}M_ij\),\(M_ij=(-1)^{i+j}A_ij\) - 构造新的行列式
\[D=\begin{vmatrix}
3 & 0 & 4 & 0 \\
2 & 2 & 2 & 2 \\
0 & -7 & 0 & 0 \\
5 & 3 & -2 & 2 \\
\end{vmatrix}求第四行个元素余子式之和
\]
\[M_{41}+M_{42}+M_{43}+M_{44}=-A_{41}+A_{42}-A_{43}+A_{44}
=\begin{vmatrix}
3 & 0 & 4 & 0 \\
2 & 2 & 2 & 2 \\
0 & -7 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & -1 & 1 \\
\end{vmatrix}按第三行展开计算即可
\\
（当只考虑代数余子式时，可以任意构造当行和当列）
\]
- L,U行列式det=0,可以利用性质转换成L,U
- 递推行列式
- 拉普拉斯展开
行列式的计算
方法
- 定义
- 性质
- 各行列加到同一行列
- 拆分方法
- 递推法
- 升阶法
- 范德蒙行列式
- 数学归纳法
- 析因子法
- 换元法
克莱姆法则
\[\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n}\\
a_{12} & a_{22} & \cdots &a_{2n}\\
\cdots & \cdots & \cdots &\cdots\\
a_{1n} & \cdots & \cdots &a_{nn}\\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
\cdots \\
x_{n} \\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
b_{1} \\
b_{2} \\
\cdots \\
b_{n} \\
\end{bmatrix}
\]
系数
\[
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n}\\
a_{12} & a_{22} & \cdots &a_{2n}\\
\cdots & \cdots & \cdots &\cdots\\
a_{1n} & \cdots & \cdots &a_{nn}\\
\end{vmatrix}\neq=0
\\
则方程有唯一解
x_1=\frac{D_1}{D}
x_2=\frac{D_2}{D}
\dots
x_n=\frac{D_n}{D}
\\
D_j=\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} &a_{1,j-1}&b_1& \cdots &a_{1n}\\
a_{12} & a_{22} &a_{2,j-1}&b_2& \cdots &a_{2n}\\
\cdots & \cdots &\cdots&\cdots & \cdots &\cdots\\
a_{1n} & \cdots &a_{n,j-1}&b_n & \cdots &a_{nn}\\
\end{bmatrix}
\]
只有零解的充分必要条件是系数行列式\(D\neq 0\),有非零解的充分必要条件是\(D=0\)
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