Google Kickstart2022 Round H Problem B 魔法百合井

很好的一道dp题
传送门

题意

森林里有一口很深的魔法井，井中有 L朵百合花。

你带着一个大空篮子和足够多的硬币来到了井边。

这个井有魔力，向里面投入硬币可以发生神奇的事情：

• 如果你向井里一次性投入 1
  个硬币，井就会发动魔法，将一朵百合花扔进你的篮子里。

• 如果你向井里一次性投入 4
  个硬币，井就会发动魔法，统计并记录到目前为止，已经扔进你的篮子里的百合花的数量。

• 如果你向井里一次性投入 2
  个硬币，井就会发动魔法，将等同于上次记录数量的百合花扔进你的篮子里。

有一点需要特别注意，如果你向井里一次性投入 1个或 2个硬币后，井中已经没有足够的百合花扔给你了，那么井就不会发动任何魔法，也不会扔给你任何百合花（钱白花了）。

请你计算，为了将所有百合花都收入篮中，所需要花费的最少硬币数量

思考

• 通过几次尝试，你会发现贪心貌似不可用

  贪心的思路，只统计目前已有的百合花，然后相加，你会发现，会留下一定数量的百合花，小于统计值，只能一个一个加，反而导致总硬币更多

• 尝试dp怎么得到答案

  设f[x]是得到x朵花的最小硬币数

  我们先不考虑f[x]怎么得到
  考虑怎么得到之后
  假设相对应硬币操作，为1，2，4

  x之后 可能是421212122
  然而因为只统计了一次，所以2和1的顺序可以任意，也可以是422222111

  假设目前我们得到x朵花，花了f[x]个硬币，容易得到f[x+1]=f[x]+1
  若要再得到y-x朵花，我们也许可以通过f[y]=f[x]+y%x+y/x*2+4

通过将y分解为关于x的因式，状态转移方程更加简易，具体看代码

时间复杂度

对于每个i,循环n/i次,调和级数\(\sum_{i=1}^{i=n}\frac{1}{i}\)~\(lnn\)
O(\(\sum_{i=1}^{i=n}n/i\))=O(\(n*lnn\))=O(\(nlogn\))

CODE

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
int t;
int f[maxn];

int main(){
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    f[0]=0;
    for(int i=1;i<maxn;++i){
        f[i]=min(f[i],f[i-1]+1);
        for(int j=2;j*i<maxn;++j){
            f[i*j]=min(f[i*j],f[i]+4+2*(j-1));
        }
    }
    cin>>t;
    for(int i=1;i<=t;++i){
        int l;cin>>l;
        cout<<"Case #"<<i<<": "<<f[l]<<endl;
    }return 0;
    
}

感悟

最近经常使用数学归纳法求行列式，学习这个题的时候突然觉得，隐隐感觉与数学归纳法有所相似
目前所学的数学归纳法是从k推到k+1 ，但从此题可以看出，并非简单地从k推出，也可以出其他x<k推出