games101-2 线性代数（图形学)

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1.图形学需要的基础

• 数学：线性代数，微积分，统计学
• 物理：光学，力学
• 其他:信号处理，数值分析
• 一点美学

2 线性代数

1 向量概念

2 vector normalization向量规范化

3 向量加法

向量的加法可以从两个角度去理解：

• 从几何的角度去理解：平行四边形法则和三角形法则
  
• 坐标系中相应的坐标相加
  将向量表示成坐标的形式是非常有助于计算向量的长度的
  

4 向量的点乘 Dot product

两个向量的点乘是一个数；

可以快速计算两个向量之间的夹角；
向量点乘的基本属性：

在直角坐标系中的计算公式如下：

向量点乘在图形学中的用法:

快速找到两个向量之间的夹角； 比如在一个向量投影到另外一个向量上什么样子的

可以计算两个向量方向接近程度：根据点乘的结果来判断是接近和远离；比如在高光渲染的时候就要用这个知识

向量点乘还可以给出一个前与后的信息：如果落在了上半圆就是接近，如果落在了下半圆就是远离。根据点乘的符号来判断，如果是正的，结果等于1就是相同，如果是-1是相向；

投影-可以将一个向量分解成两个向量，一个向量平行于第一个向量，另外一个向量垂直于第一个向量；

5 向量的叉乘 Cross product

向量叉乘的结果是一个向量！方向用右手螺旋定则确定（或者左手）

右手螺旋定则：
OpenGL中使用的是左手坐标系！

叉乘在图形学中的意义：

1. 判断左和右
   如下图：判断b在a的左边还是右边
   用a叉乘b，得到的结果是正的，说明b在a的左侧
   用b叉乘a，得到的结果是负的，说明b在a的右侧
   
2. 判断里和外
   判断P在三角形ABC的内部？
   ABXAP，结果是正的，说明P在AB的左侧
   BCXBP，结果是正的，说明P在AB的左侧
   CAXPC，结果是正的，说明P在CA的左侧
   所以P在三角形ABC的内部，
   绕的顺序是AB-BC-CA，绕向逆时针和顺时针，也就是三个叉乘结果要嘛都是正的，要嘛都是负的
   这个是三角形光栅化的基础，要知道三角形覆盖了哪些像素，判断像素是否在三角形内部；
   

6 正交坐标系

3 矩阵

1 概念

2 矩阵的乘积

3 矩阵相乘的特性

没有交换律

4 矩阵向量相乘

始终任务矩阵在左边，向量在右边
将向量看成是mx1的矩阵
点的变换就是基于这个知识点

5 矩阵的转置

6 单位矩阵

矩阵的逆

7 向量的乘积的矩阵形式