BZOJ 3028 食物 (生成函数+数学题)

题面:BZOJ传送门

题目让我们求这些物品在合法范围内任意组合,一共组合出$n$个物品的方案数

考虑把每种食物都用生成函数表示出来,然后用多项式乘法把它们乘起来,第$n$项的系数就是方案数

汉堡:$1+x^{2}+x^{4}+x^{4}...=\frac{1}{1-x^{2}}$

可乐:$1+x$

鸡腿:$1+x+x^{2}$

蜜桃:$x+x^{3}+x^{5}+x^{7}...=\frac{x}{1-x^{2}}$

鸡块:$1+x^{4}+x^{8}+x^{12}..=\frac{1}{1-x^{3}}$

包子:$1+x+x^{2}+x^{3}=(1+x)(1+x^{2})$

土豆:$1+x$

面包:$1+x^{3}+x^{6}+x^{9}...=\frac{1}{1-x^{3}}$

数据范围非常大,直接上生成函数会炸,而且模数也不支持$NTT$

把这些多项式乘起来,化简可得$f(x)=\frac{x}{(1-x)^{4}}$

一种做法是求导,再代入泰勒展开,然而我太弱了并没有推明白式子

$f(x)=\frac{x}{(1-x)^{4}}=x(\frac{1}{(1-x)})^{4}$

考虑$\frac{1}{1-x}$的麦克劳林公式,就是$1+x+x^{2}+x^{3}...$

而它的四次方就是$1+4x+10x^{2}+20x^{3}..$

即$C_{3}^{0}+C_{4}^{1}x+C_{5}^{2}x^{2}+C_{6}^{3}x^{3}...=\sum_{i=1}^{n}C_{i+3}^{3}x^{i}$

然而还有一项$x$没算进去,相当于把整个多项式右移一位,即答案左移一位

最终答案变成了$C_{n+2}^{3}$

 1 #include <cmath>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstring>
 4 #include <algorithm>
 5 #define ll long long 
 6 #define dd double
 7 #define N1 1010
 8 using namespace std;
 9  
10 const int mod=10007;
11  
12 int gint()
13 {
14     int ret=0,fh=1; char c=getchar();
15     while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')fh=-1;c=getchar();}
16     while(c>='0'&&c<='9'){ret=ret*10+c-'0';c=getchar();}
17     return ret*fh;
18 }
19  
20 void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
21 {
22     if(!b){ x=1; y=0; return; }
23     exgcd(b,a%b,x,y); ll t=x; x=y; y=t-a/b*y;
24 }
25 char str[N1];
26 int a[N1],n;
27  
28 int main()
29 {
30     scanf("%s",str+1);
31     int ret=0,i; n=strlen(str+1);
32     for(i=1;i<=n;i++) ret=(ret*10+str[i]-'0')%mod;
33     ll inv,invy; ret=1ll*(ret+2)*(ret+1)%mod*(ret)%mod;
34     exgcd(2,mod,inv,invy); inv=(inv%mod+mod)%mod; ret=1ll*ret*inv%mod;
35     exgcd(3,mod,inv,invy); inv=(inv%mod+mod)%mod; ret=1ll*ret*inv%mod;
36     printf("%d\n",ret);
37     return 0;
38 }

 

posted @ 2019-01-27 12:59  guapisolo  阅读(159)  评论(0编辑  收藏  举报