BZOJ 3994 [SDOI2015]约数个数和 (莫比乌斯反演)

题目大意：略

洛谷传送门

首先要知道这样一个公式不知道这个公式这道题还怎么做...

 

$d(ij)=\sum\limits_{x=1}^{i} \sum\limits_{y=1}^{j}[gcd(x,y)==1]$

具体证明可以参考这位神犇的博客

大意是说，令$k=i \cdot j$，把$k,i,j$都分解成质因子幂次乘积的形式

那么对于其中一个质因子$p$，$k,i,j$里，$p$的幂次分别为$c,a,b$

那么因为$p^{c}=p^{a} \cdot p^{b},c=a+b$

对于$k$的所有约数，$p$能取的幂次是$0,1,2...c$，一共$c+1=a+b+1$种取值

而在上述式子中，保证$x,y$互质，则$x,y$中$p$的指数，$x$取$0$，$y$取$[1,b]$，或者$x$取$[1,a]$，$y$取$0$，或者$x,y$都取$0$，一共$a+b+1$种取值，和上述论证吻合

而质因子之间互不影响，所以推广到多个质因子上，这个结论依然是正确的

 

进入正题，我们有了这个公式，下面的推导就十分经典套路了

$\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{m} \sum\limits_{x|i} \sum\limits_{y|j} [gcd(x,y)==1]$

$\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{m} \sum\limits_{x|i} \sum\limits_{y|j} \sum\limits_{d|gcd(x,y)} \mu(d)$

$\sum\limits_{d=1}^{n} \mu(d) \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\sum\limits_{x|i}\sum\limits_{y|j}[d|gcd(x,y)]$

$\sum\limits_{d=1}^{n} \mu(d) \sum\limits_{x=1}^{n}\sum\limits_{y=1}^{m} \left \lfloor \frac{n}{x} \right \rfloor \left \lfloor \frac{m}{y} \right \rfloor [d|gcd(x,y)]$

$\sum\limits_{d=1}^{n} \mu(d) \sum\limits_{x=1}^{n} \left \lfloor \frac{n}{dx} \right \rfloor \sum\limits_{y=1}^{m} \left \lfloor \frac{m}{dy} \right \rfloor$ 

令$g(n)=\sum\limits_{x=1}^{n} \left \lfloor \frac{n}{x} \right \rfloor$

则$\sum\limits_{d=1}^{n} \mu(d) g(\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor) g(\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor )$

$g(n)$可以利用整除分块的思想在$O(n\sqrt n)$的时间内预处理出来

对于每个询问也用整除分块求解即可，总时间$O(T\sqrt n+n\sqrt n)$

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N1 50010
#define ll long long
#define dd double
#define inf 2147483647
#define maxn 50000
using namespace std;

ll g[N1];
int pr[N1],mu[N1],smu[N1],use[N1],cnt;
void init()
{
    int n,i,j,la;
    for(n=1;n<=maxn;n++)
    {
        for(i=1;i<=n;i=la+1)
        {
            la=(n/(n/i));
            g[n]+=1ll*(la-i+1)*(n/i);
        }
    }
    for(mu[1]=smu[1]=1,i=2;i<=maxn;i++)
    {
        if(!use[i]){ pr[++cnt]=i; mu[i]=-1; }
        for(j=1;j<=cnt&&i*pr[j]<=maxn;j++)
        {
            use[i*pr[j]]=1;
            if(i%pr[j]){ mu[i*pr[j]]=-mu[i]; }
            else break;
        }
        smu[i]=smu[i-1]+mu[i];
    }
}
int n,m,T;

int main()
{
    scanf("%d",&T);
    init();
    int i,j,la;ll ans=0; ll inv,y;
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m); if(n>m) swap(n,m); ans=0;
        for(i=1;i<=n;i=la+1)
        {
            la=min(n/(n/i),m/(m/i));
            ans+=1ll*(smu[la]-smu[i-1])*g[n/i]*g[m/i];
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}