2023-李艳芳三套卷-数学三

2023-李艳芳3(3)-1

这张卷子寄了（doge）T18 定义域看错了，T21 漏解了，T22 \(p_2\) 的积分积错了，亏麻了属于是

T5 通过正交变换的几何意义理解（见2023-李艳芳3(1)-1）

T7 \(A\) 对称/正定，则 \(A^*\) 对称/正定；反过来，\(A^*\) 对称/正定，推不出 \(A\) 对称（如 \(r(A)=1\)）/正定（如 \(A=diag(-1,\,-1,\,-1)\)）

T9 好像和区间估计没什么关系，就是 \(P\left\{|\overline{X}-\mu|\leqslant\dfrac{\mu\sigma}{\sqrt{n}}\right\}\) 罢了

  • 突然想到数三没有区间估计来着。。。

T10 第一步 \(\hat{\theta}=\dfrac{\overline{X}}2\)，第二步 \(E(\hat{\theta})=\dfrac12E(\overline{X})=\dfrac12E(X)=\theta,\,D(\hat{\theta})=\dfrac14D(\overline{X})=\dfrac1{4n}D(X)=2\theta^2\)，按步骤做就好，不要乱

T11 求 \(y=f(x)\) 与 \(y=g(x)\) 公共切线：一般来说，未必切于公共点，只是这里恰好如此罢了。\(F(x)=g(x)-f(x)\)，即公共切点满足 \(F^{'}(x)=0\)

  • 可证明 \(F^{'}(x)\) 单调增，而 \(F^{'}(1)=0,\,F(1)=0\)，故 \(g(x)\geqslant f(x)\)，当仅当 \(x=1\) 时取等号，这唯一公共点处两曲线也相切

T12 \(f(x)\) 值域 \([1,\,+\infty)\)，故 \(\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=|f(x)|^a=f^a(x)\Rightarrow\dfrac{\mathrm{d}f}{f^a}=\mathrm{d}x\)，且已知 \(f(0)=1\)

  • 若 \(a=1\)，则 \(\ln f=x+C\Rightarrow f=\mathrm{e}^x\)，定义域 \([0,\,c)\)，值域 \([1,\,\mathrm{e}^c)\)，不符，舍
  • 若 \(a\neq1\)，则 \(\dfrac{f^{1-a}}{1-a}=x+C\Rightarrow f^{1-a}=(1-a)x+1\)
    • 若 \(a>1\)，则 \(1-a<0\)，\(\dfrac1{f^{a-1}}=(1-a)x+1\in(c-ac+1,\,1]\)，要使得值域为 \([1,\,+\infty)\)，首先就要 \(c-ac+1=0\)，即 \(a=1+\dfrac1c\)，此时 \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow c^-}f=\lim_{x\rightarrow c^-}[(1-a)x+1]^{1-a}=\lim_{x\rightarrow c^-}\left(-\dfrac1cx+1\right)^{-\tfrac1c}=\mathrm{e}^{\lim_{x\rightarrow c^-}-\tfrac{\ln (1-\tfrac xc)}{c}}=+\infty\)，值域确实取到了 \([1,\,+\infty)\)
    • 若 \(a<1\)，则 \(1-a>0\)，\(f^{1-a}=(1-a)x+1\in[1,\,c-ac+1)\)，\(f\in[1,\,\sqrt[1-a]{c-ac+1})\)，值域有上界，不符，舍
  • 综上，当仅当 \(a=1+\dfrac1c\) 的时候，值域为 \([1,\,+\infty)\)
  • 所以这道题，如果 \(c\) 是常数，那么 \(a\) 的取值范围只有 \(\left\{1+\dfrac1c\right\}\)，如果是 \(\exist\ c>1\)，那么取值范围才是 \((1,\,2)\)
  • 如果是存在 \(c\) 的问题，那么也可以通过反函数来做。\(f(x)\) 单调增加，有反函数 \(g(x)\)，则 \(g(x)\) 定义域 \([1,\,+\infty)\)，值域 \([0,\,c)\)

T17 两个抛物线只有一个公共点，公共点处肯定相切（填空题做麻了，忘了这事了。。）

T18 看！清！积！分！区！域！

T19 \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac1{n^2}\left[\sum_{i=0}^nf\left(\dfrac in\right)\right]\left[\sum_{j=0}^ng\left(\dfrac jn\right)\right]=\lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac1{n^2}\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^nf\left(\dfrac in\right)g\left(\dfrac jn\right)\)，不过这种题目既然拆开了，分成两个一重积分不就好了

  • 突然想到数三没有三重积分来着。。。

T21 其实对于任意阶方阵，若 \(AB=BA\)，且 \(A,\,B\) 可逆。则设 \(A\alpha=\lambda\alpha\)，有 \(A(B\alpha)=\lambda(B\alpha)\)，结合 \(B\alpha\neq 0\)，可知 \(\alpha\) 也是 \(B\) 的特征向量

  • 所以总有 \(Q^TAQ=\Lambda_1,\,Q^TBQ=\Lambda_2\)，但 \(\Lambda\) 中特征值的排列就不确定了

2023-李艳芳3(3)-2

T2 \(0<a<1,\,0<x<\frac\pi2\) 时，\(\sin ax<a\sin x,\,\tan ax>a\tan x\)，泰勒展开证明（虽然不严谨）较快

T7 \(A\) 正定，于是 \(A^{-1}\) 正定，于是 \(Q^TAQ\) 正定。类似地，2023-李艳芳3(1)-2的T21

T8 每道题没有被做到过的概率是 \(0.98^{10}\)，期望上 \(1000\) 题中共有 \(1000\times 0.98^{10}\) 题没被做到过

T16 \(Z\) 严格大于 \(X\) 和 \(Y\) 的概率，即 \(Z>\max\{X,\,Y\}\) 的概率，对 \(\max\{X,\,Y\}\) 二重积分即可

T18 轮换对称，除了积分区域本身对称外，有些题目还可以把 \(D\) 对称到 \(y=x\) 对面的 \(D^{'}\) 来处理，后面同样是 \(x,\,y\) 交换

T19 \(\arctan x\) 和 \(f(x)\) 都是非齐次微分方程的解，要先从齐次入手：\(h(x)=f(x)-\arctan x\)，且要求 \(h(x)\not\equiv 0\)，讨论 \(c\) 不同取值下 \(h(x)\) 是否是有界奇函数，即可反映 \(f(x)\)

T20 证明 \(a>1\) 时 \(u_n\) 不收敛，可考虑反证法：假设 \(\lim u_n=A\) 存在，解出 \(A\) 并发现 \(A\leqslant 1\)，与 \(A\geqslant a>1\) 矛盾了，即可证出不收敛

T21 这道题令 \(B=A+E\) 可能更好理解一些？利用特征向量表示 \(x\)：实对称 \(r(B)=1\)，特征值只能是 \(0,\,0,\,\lambda\neq0\)

  • \(||x||=1\) 时，\(x^TBx\) 最大为 \(3\)，则存在正交矩阵 \(Q=(\xi_1,\,\xi_2,\,\xi_3)\)，使 \(x^TBx=y^TQ^TBQy=\lambda y_3^2\) 最大为 \(3\)，故 \(\lambda=3\)
  • \(x=(1,\,-1,\,1)^T\) 时，\(x^TBx=9\)，设 \(x=k_1\xi_1+k_2\xi_2+k_3\xi_3\)，其中 \(||\xi_i||=1\) 且两两正交，\(B\xi_1=B\xi_2=0,\,B\xi_3=3\xi_3\)，则
    • \(x^TBx=(k_1\xi_1^T+k_2\xi_2^T+k_3\xi_3^T)B(k_1\xi_1+k_2\xi_2+k_3\xi_3)=3k_3^2\xi_3^T\xi_3=3k_3^2=9\)，解得 \(k_3^2=3\)
    • \(||x||^2=x^Tx=(k_1\xi_1^T+k_2\xi_2^T+k_3\xi_3^T)(k_1\xi_1+k_2\xi_2+k_3\xi_3)=k_1^2+k_2^2+k_3^2=3\)，解得 \(k_1=k_2=0\)
    • 于是 \(x=\pm\sqrt3\xi_3\)，\(x\) 就是 \(B\) 对应 \(\lambda=3\) 的特征向量
  • 于是 \(B=\dfrac{3-0}{x^Tx}xx^T=xx^T\)，\(A=B-E\)
  • 类似的思路参考2023-李艳芳3(1)-1的T15，T21

2023-李艳芳3(3)-3

T6 错了个奇怪的。。。\(A^3-A=O\)，特征值可取 \(\pm1,\,0\)，不一定含 \(1\)

T7 \(\begin{pmatrix}E&A\\A^T&O\end{pmatrix}\cong\begin{pmatrix}E&\\&-A^TA\end{pmatrix}\cong\begin{pmatrix}E_p&&\\&-E_q&\\&&O\end{pmatrix}\)

T9 结论：\(Y_1=\dfrac12(X_1+X_2),\,Y_2=\sqrt{X_1X_2}\)，则 \(E(Y_1)-E(Y_2)=D(\sqrt{X})\geqslant0\)

T13 椭圆也可以用参数方程，本题 \(|J|=\sqrt3r\)

T18 Hesse矩阵：正定——极小值；负定——极大值；不定——非极值；半正/负定——无法判断。本题其实 \((-1,\,0,\,\sqrt2)\) 就不是极值点

T19 弦切不等式它又来了，注意证“弦”时，构造的 \(F(x)\) 并不单调，而是拉格朗日找到一个 \(F^{'}(\xi)=0\)，然后 \((a,\,\xi)\) 和 \((\xi,\,b)\) 段分别都单调，小于零

T21 \(A,\,B\) 有公共特征向量，利用已知条件 \(\begin{pmatrix}2E-A\\-E-B\end{pmatrix}x=0\) 有非零解，即存在 \(\beta\neq0\) 使得 \(A\beta=2\beta\) 来处理

posted @ 2022-12-05 12:04  Be(CN₃H₃)₂  阅读(60)  评论(0)  编辑  收藏  举报