博弈论

博弈论基础介绍：

巴什博弈：

例子：

一堆石子 \(n\) 个，任意取 \([1-m]\) 个，问先手必赢/输。

分析：

分类进行考虑：

1. \([1,m]\) 个，先手必赢。
2. \(m+1\) 个，先手必输。
3. \([m+2,2m]\) 先手可以拿走几个，剩下 \(m+1\) 个，先手必胜。

我们发现，面临 \(m+1\) 个石子的人一定失败。

进行推广：设当前石子数为 \(n=k*(m+1)+r\), 先手先拿走 \(r\) 个，无论后手怎么拿 \(x\) 个，先手一定可以拿走 \(m+1-x\) 个，这样后手一定失败。

反之，当 \((m+1)|n\) ，先手一定失败。

因此，只要不满足 \((m+1)|n\) ，就一定先手必胜，反之必败，直接判断即可。

\(nim\) 游戏

例子：

有 \(n\) 堆石子，两个人可以从任意一堆石子中拿任意多个石子(不能不拿)，没法拿的人失败。问谁会胜利。

定理：

当 \(n\) 堆石子的数量异或和等于 \(0\) 时，先手必败，否则先手必胜.

证明：

必败状态：我们设 \(a[i]\) 表示 \(i\) 堆石子的数量。当前局面为：

\[0⊕0⊕0⊕⋯⊕0=0 \]

对于先手来说，如果当前局面为：

\[a_1⊕a_2⊕a_3⊕⋯⊕a_n=k \]

那么一定存在 \(a_i\) ,二进制表示在最高位 \(k\) 上为 \(1\)。

我们将 \(a_i⊕k\) ，这样就变成了：

\[a_1⊕a_2⊕a_3⊕⋯⊕a_n⊕k=0 \]

我们只需要保证给后手的人所有石子异或值为0，即可获胜，此时先手必胜。

反之，一开始异或值为 \(0\) ，此时先手必败。

特殊情况：

有些题目，只能选择 \([1-m]\) 个石子，这就是 \(nim+bash\) ,只需要将所有的石子堆的石子数目同时模 \(m+1\)，然后异或运算即可。

for(int i=1;i<=N;i++) scanf("%d",&a[i]);
for(int i=1;i<=N;i++) ans=ans^a[i];
ans==0?printf("No\n"):printf("Yes\n");