LOJ#2540. 「PKUWC2018」随机算法 状压DP+组合

令 $f[S]$ 表示所选的排列可以生成出 $S$ 的最大独立集且点集 $S$ 全部在序列中的方案数.   

那么我们选一个没有被覆盖的点 $j$，令 $sta[j]$ 表示 $j$ 及 $j$ 覆盖的点集.   

那么有 $f[S|sta[j]] \leftarrow f[S] \times A(n-|S|-1,|sta[j]|-|sta[j] \bigcap S|)$       

即我们直接钦定让 $j$ 成为序列中的第一个点就好了，这样就不会算重而且一定合法.      

code:   

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring> 
#include <algorithm>  
#define N 21 
#define ll long long 
#define mod 998244353  
#define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin)
using namespace std;
int n,m;   
int sta[N],g[1<<N];   
int f[1<<N],lg[1<<N],bi[N],cnt[1<<N],fac[N],inv[N],mx[1<<N];   
int lowbit(int x) {
    return x&(-x); 
} 
void init() {
    inv[1]=fac[0]=1;  
    for(int i=1;i<N;++i) {
        fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mod;  
    }
    for(int i=2;i<N;++i) {
        inv[i]=(ll)(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;   
    }
    inv[0]=1; 
    for(int i=1;i<N;++i) {
        inv[i]=(ll)inv[i-1]*inv[i]%mod;  
    }
}
int A(int x,int y) { 
    return (ll)fac[x]*inv[x-y]%mod;  
}
int main() {
    // setIO("input");  
    init();  
    scanf("%d%d",&n,&m);       
    int x,y,z;  
    for(int i=1;i<(1<<n);++i) {
        cnt[i]=cnt[i-lowbit(i)]+1;    
    }
    for(int i=1;i<=n;++i) {
        bi[i]=1<<(i-1);  
        lg[bi[i]]=i;  
    }
    for(int i=1;i<=n;++i) {
        sta[i]=bi[i]; 
    }
    for(int i=1;i<=m;++i) {
        scanf("%d%d",&x,&y);   
        sta[x]|=bi[y];  
        sta[y]|=bi[x];   
    }  
    f[0]=1;    
    // 覆盖集合为 i，新加入节点为 j    
    for(int i=0;i<(1<<n)-1;++i) {
        if(f[i]==0) continue;   
        for(int j=1;j<=n;++j) {
            if(i&bi[j]) continue;   
            int nw=i|sta[j];    
            if(mx[i]+1<mx[nw]) continue;   
            if(mx[i]+1>mx[nw]) {
                mx[nw]=mx[i]+1,f[nw]=0;  
            }                  
            (f[nw]+=(ll)f[i]*A(n-cnt[i]-1,cnt[sta[j]]-cnt[sta[j]&i]-1)%mod)%=mod;             
        }
    }
    printf("%d\n",(ll)f[(1<<n)-1]*inv[n]%mod);   
    return 0; 
}