BZOJ 3771: Triple 生成函数 + FFT

Description

我们讲一个悲伤的故事。
从前有一个贫穷的樵夫在河边砍柴。
这时候河里出现了一个水神,夺过了他的斧头,说:
“这把斧头,是不是你的?”
樵夫一看:“是啊是啊!”
水神把斧头扔在一边,又拿起一个东西问:
“这把斧头,是不是你的?”
樵夫看不清楚,但又怕真的是自己的斧头,只好又答:“是啊是啊!”
水神又把手上的东西扔在一边,拿起第三个东西问:
“这把斧头,是不是你的?”
樵夫还是看不清楚,但是他觉得再这样下去他就没法砍柴了。
于是他又一次答:“是啊是啊!真的是!”
水神看着他,哈哈大笑道:
“你看看你现在的样子,真是丑陋!”
之后就消失了。
 
樵夫觉得很坑爹,他今天不仅没有砍到柴,还丢了一把斧头给那个水神。
于是他准备回家换一把斧头。
回家之后他才发现真正坑爹的事情才刚开始。
水神拿着的的确是他的斧头。
但是不一定是他拿出去的那把,还有可能是水神不知道怎么偷偷从他家里拿走的。
换句话说,水神可能拿走了他的一把,两把或者三把斧头。
 
樵夫觉得今天真是倒霉透了,但不管怎么样日子还得过。
他想统计他的损失。
樵夫的每一把斧头都有一个价值,不同斧头的价值不同。总损失就是丢掉的斧头价值和。
他想对于每个可能的总损失,计算有几种可能的方案。
注意:如果水神拿走了两把斧头a和b,(a,b)和(b,a)视为一种方案。拿走三把斧头时,(a,b,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a),(b,a,c),(a,c,b)视为一种方案。

Input

第一行是整数N,表示有N把斧头。
接下来n行升序输入N个数字Ai,表示每把斧头的价值。

Output

若干行,按升序对于所有可能的总损失输出一行x y,x为损失值,y为方案数。
 
题解:在 $n$ 个互不相同的数中选 $1$ 到 $3$ 个数,其和为 $sum$ 的方案有多少种
 
构造生成函数 $A=\sum_{i=1}^{Max}a_{i}x^i$ 表示是否有 $i$ 这个数 (0/1)
 
$B=\sum_{i=1}^{Max}a_{i}x^i$ 表示仅选两个相同数的生成函数 (0/1)
 
$C=\sum_{i=1}^{Max}a_{i}x^i$ 表示仅选三个相同数的生成函树 (0/1)
 
只选一个 : $A_{sum}$
 
只选两个: $\frac{(A^2-B)}{2}$
 
只选三个:$\frac{A^3-3\times(A*B-C)-C}{6}$
 
依次解释一下:
 
(1) 方案 = 选一个
 
(2) 总 - 选两个相同 = 选两个不同的有序方案,方案 = 选两个不同有序方案/2
 
(3) (总 - 选两个相同一个不同有序方案 - 选三个相同) / 6 
 
#include<bits/stdc++.h>
#define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin), freopen(s".out","w",stdout)   
#define ll long long 
#define maxn 500000 
using namespace std; 
const double pi=acos(-1.0); 
struct cpx 
{ 
    double x,y; 
    cpx(double a=0,double b=0) {x=a,y=b; } 
    cpx operator+(const cpx b) { return cpx(x+b.x,y+b.y); } 
    cpx operator-(const cpx b) { return cpx(x-b.x,y-b.y); } 
    cpx operator*(const cpx b) { return cpx(x*b.x-y*b.y,x*b.y+y*b.x); } 
}A[maxn],B[maxn],C[maxn],D[maxn];     
void FFT(cpx *a,int n,int flag)
{
    for(int i=0,k=0;i<n;++i) 
    {
        if(i>k) swap(a[i],a[k]); 
        for(int j=(n>>1);(k^=j)<j;j>>=1); 
    } 
    for(int mid=1;mid<n;mid<<=1)
    {     
        cpx wn(cos(pi/mid), flag*sin(pi/mid)), x,y; 
        for(int i=0;i<n;i+=(mid<<1)) 
        {
            cpx w(1,0); 
            for(int j=0;j<mid;++j) 
            {
                x=a[i+j], y=w*a[i+j+mid];   
                a[i+j]=x+y, a[i+j+mid]=x-y;  
                w=w*wn;         
            }
        }
    }
    if(flag==-1) for(int i=0;i<n;++i) a[i].x/=(double) n;  
}
int Max;   
int arr[maxn],f[maxn],g[maxn*2],h[maxn*3]; 
ll answer[maxn];             
inline void solve1() 
{ 
    for(int i=1;i<=Max;++i) answer[i]+=f[i];    
}
inline void solve2() 
{ 
    int len=1;    
    for(int i=1;i<=Max;++i) A[i].x=f[i];                 
    for(;len<=(Max<<1);len<<=1);                              
    FFT(A,len,1);                
    for(int i=0;i<len;++i) A[i]=A[i]*A[i]; 
    FFT(A,len,-1);   
    for(int i=0;i<len;++i)  answer[i]+=((ll)(A[i].x+0.5)-g[i])/2; 
    for(int i=0;i<len;++i) A[i].x=A[i].y=0;                  
}     
inline void solve3() 
{   
    int len=1;        
    for(;len<=(Max*3);len<<=1);
    for(int i=0;i<=Max;++i) A[i].x=f[i];          
    for(int i=0;i<=Max*3;++i) C[i].x=A[i].x, D[i].x=g[i];       
    FFT(A, len, 1);            
    for(int i=0;i<len;++i) A[i]=A[i]*A[i]*A[i];  
    FFT(A, len, -1);  
    FFT(C, len, 1), FFT(D, len, 1); 
    for(int i=0;i<len;++i) C[i]=C[i]*D[i]; 
    FFT(C, len, -1);   
    for(int i=0;i<len;++i) answer[i]+=(ll)((ll)(A[i].x+0.5)-3*((ll)(C[i].x+0.5)-1ll*h[i])-1ll*h[i])/6;   
}
int main()
{ 
    //   setIO("input"); 
    int n;  
    scanf("%d",&n); 
    for(int i=1;i<=n;++i) 
    {
        scanf("%d",&arr[i]);   
        ++f[arr[i]], ++g[arr[i]<<1], ++h[arr[i]*3];   
        Max=max(Max, arr[i]);  
    }      
    solve1(),solve2(), solve3();     
    for(int i=0;i<3*Max;++i) if(answer[i]) printf("%d %lld\n",i, answer[i]);       
    return 0; 
}

  

posted @ 2019-07-11 11:20  EM-LGH  阅读(117)  评论(0编辑  收藏  举报