BZOJ 4180: 字符串计数 后缀自动机 + 矩阵乘法 + 二分（神题）

Description

SD有一名神犇叫做Oxer，他觉得字符串的题目都太水了，于是便出了一道题来虐蒟蒻yts1999。

 

他给出了一个字符串T，字符串T中有且仅有4种字符 'A', 'B', 'C', 'D'。现在他要求蒟蒻yts1999构造一个新的字符串S，构造的方法是：进行多次操作，每一次操作选择T的一个子串，将其加入S的末尾。

 

对于一个可构造出的字符串S，可能有多种构造方案，Oxer定义构造字符串S所需的操作次数为所有构造方案中操作次数的最小值。

 

Oxer想知道对于给定的正整数N和字符串T，他所能构造出的所有长度为N的字符串S中，构造所需的操作次数最大的字符串的操作次数。

 

蒟蒻yts1999当然不会做了，于是向你求助。

 

 

Input

第一行包含一个整数N，表示要构造的字符串长度。

 

第二行包含一个字符串T，T的意义如题所述。

 

 

Output

输出文件包含一行，一个整数，为你所求出的最大的操作次数。

 

题解： 有一个性质：操作次数越多，所能构造出来的最短串一定越长.
可以二分这个操作次数 $mid$，如果操作 $mid$ 次下所构造出来的最短的串的长度也大于 $n$，那么说明 $[mid+1,r]$ 所能构造出来的最短串的长度也大于 $n$，那么我们就可以把规模缩短到 $[l,mid-1]$
考虑二分出一个答案后如何检验
令 $f_{i,j}$ 表示以 $i$ 字符开头的单词后面可以接以 $j$ 字符开头的单词且$i$ 开头单词加上 $j$ 后还不是 $T$ 的子串的最短长度 
这个可以在后缀自动机上求
相当于要求一个 以 $i$ 开头的子串，且子串的末尾还没有 $j$ 这条边
反向更新一下即可
求出 $f$ 数组后，考虑 $g_{i,j,k}$ 表示以 $i$ 开头，后面加 $j$，一共操作了 $k$ 次的最短长度,则 $g_{i,j,k}=g_{i,m,k-1}+g_{m,j,1}$ 我们发现这个东西可以用矩阵乘法来加速，来一遍矩阵快速幂即可

 

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 300000 
#define inf 2000000000000000000 
#define ll long long 
#define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin) 
using namespace std;  
ll n; 
char str[maxn];  
namespace SAM {
	int last,tot; 
	int trans[maxn][6], f[maxn], len[maxn], c[maxn], rk[maxn], F[maxn][7];   
	void init() {  last=tot=1; }
	void extend(int c) {
		int np=++tot,p=last; 
		len[np]=len[p]+1, last=np; 
		while(p&&!trans[p][c]) trans[p][c]=np,p=f[p];  
		if(!p) f[np]=1; 
		else {
			int q=trans[p][c]; 
			if(len[q]==len[p]+1) 
				f[np]=q; 
			else {
				int nq=++tot; 
				len[nq]=len[p]+1; 
				memcpy(trans[nq], trans[q], sizeof(trans[q])); 
				f[nq]=f[q], f[np]=f[q]=nq;
				while(p&&trans[p][c]==q) trans[p][c]=nq,p=f[p];  
			}
		}
	}
	void prepare() {
		memset(F,0x3f,sizeof(F));     
		for(int i=1;i<=tot;++i) ++c[len[i]]; 
		for(int i=1;i<=tot;++i) c[i]+=c[i-1];      
		for(int i=1;i<=tot;++i) rk[c[len[i]]--]=i;   
		for(int i=tot;i>=1;--i) {
			int o=rk[i]; 
			for(int j=0;j<4;++j) {
				if(!trans[o][j]) F[o][j]=1;   
				for(int k=0;k<4;++k) 
					F[o][j]=min(F[o][j], F[trans[o][k]][j]+1); 
			}
		}
	}
}; 
struct matrix {
	ll mat[4][4];  
	void init(ll key) {
		for(int i=0;i<4;++i) 
			for(int j=0;j<4;++j) 
				mat[i][j]=key; 
	}
};   
matrix operator*(matrix a,matrix b) {  
	matrix c; 
	c.init(inf);  
	for(int i=0;i<4;++i) 
		for(int j=0;j<4;++j) 
			for(int k=0;k<4;++k)
				c.mat[i][j]=min(c.mat[i][j], a.mat[i][k] + b.mat[k][j]); 
	return c; 
}  
matrix operator^(matrix base,ll k) {
	matrix tmp; 
	tmp.init(0); 
	while(k){
		if(k&1) tmp=tmp*base; 
		base=base*base,k>>=1; 
	}
	return tmp; 
}
bool check(ll mid) {
	matrix s; 
	for(int i=0;i<4;++i) 
		for(int j=0;j<4;++j) 
			s.mat[i][j]=SAM::F[SAM::trans[1][i]][j];     
	s=s^mid; 
	ll re=inf; 
	for(int i=0;i<4;++i) 
		for(int j=0;j<4;++j) 
			re=min(re, s.mat[i][j]);      
	return re >= n; 
}
int main() {
	// setIO("input");   
	int i,_len; 
	scanf("%lld%s",&n,str+1);       
	_len=strlen(str+1); 
	SAM::init(); 
	for(i=1;i<=_len;++i) {
		SAM::extend(str[i]-'A');    
	}
	SAM::prepare();    
	ll l=1, r=n, mid, ans; 
	while(l<=r){
		mid=(l+r)>>1; 
		if(check(mid)) ans=mid, r=mid-1;     
		else l=mid+1;  
	}
	printf("%lld\n",ans); 
	return 0; 
}