广义函数引入

广义函数引入

广义函数是偏微分方程理论中一个有效的工具.

一个函数是可微函数意味着该函数微分产生一个普通解析函数.我们试图对一些不可微的函数进行微分来推广微分的定义.在引入广义函数后，这种计算将变为可能.这种方法的核心思想是利用一元函数的分部积分法和多元函数的散度理论将一个对不可微函数的微分转移到一个可微函数上.

首先，我们考虑只含有一个变量\(x\)的情况，我们假设函数\(u(x)\)和\(\varphi(x)\)在区间\(a \leqslant x \leqslant b\)是连续可微函数，我们有分部积分公式：

\(\int_{a}^{b} \varphi \mathrm{d} u=\left.(u \varphi)\right|_{a} ^{b}-\int_{a}^{b} u \mathrm{d} \varphi\)

更进一步，假设函数\(\varphi(x)\)在 \(x\) 轴上的某一有界区间外为零，并且我们记对\(x\)的微分为\(D\)，那么，我们可得\(\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi D(u) \mathrm{d} x=-\int_{-\infty}^{+\infty} u D(\varphi) \mathrm{d} x\).于是，利用内积形式上方程可以被写为如下形式：

\((D u, \varphi)=-(u, D \varphi)\)

我们将对可微函数\(u(x)\)的微分\(D\)转移到了函数\(\varphi(x)\)上. 如果其中函数\(\varphi(x)\)是连续可微的而\(u(x)\)并不是，我们将得到一个非平凡的结论.

上面的方法在下面引入的新微分中起着关键的作用。即：设\(u\)是一个我们通常认为是不可微的函数，但是在对方程的\(\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi D(u) \mathrm{d} x=-\int_{-\infty}^{+\infty} u D(\varphi) \mathrm{d} x\)右边积分中满足收敛条件。函数 \(u\) 的广义微分，即为“函数”\(D u\)（在广泛意义上），对于任意有有界支集的可微函数\(\varphi\)，它满足方程\((D u, \varphi)=-(u, D \varphi)\).很明显，广义微分运算可以重复的进行，只要函数\(\varphi\)是一个可微函数.例如，二次广义微分\(D^{2} u\)的定义如下：

\(\left(D^{2} u, \varphi\right)=-(D u, D \varphi)=\left(u, D^{2} \varphi\right)\)

为了我们可以处理任意次的微分，我们假设函数\(\varphi\)是无限可微的。有有界支集的无限可微函数集合记为\(C_{0}^{\infty}\).函数\(\varphi \in C_{0}^{\infty}\) 被称为试函数。

我们可以这样理解，对于固定的函数\(u\)，表达式\((D u, \varphi)\)将任意一个函数\(\varphi \in C_{0}^{\infty}\)映射至\((u, D \varphi)\)上.这是一种线性运算：

\(\left(D u, c_{1} \varphi_{1}+c_{2} \varphi_{2}\right)=c_{1}\left(D u, \varphi_{1}\right)+c_{2}\left(D u, \varphi_{2}\right) ;\)

并且是连续的：

当\(\varphi_{k} \rightarrow \varphi\)，在\(C_{0}^{\infty}, \quad\left(D u, \varphi_{k}\right) \rightarrow(D u, \varphi)\)，因此，在空间\(C_{0}^{\infty}\)上，广义微分\(D u\)是一个线性连续的泛函.

这些想法也可以用于多元函数\(x=\left(x^{1}, \cdots, x^{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}\) 并启发我们得到广义函数的定义：

广义函数或者分布是一个在空间\(C_{0}^{\infty}\)上的有界\(C_{0}^{\infty}\)函数\(\varphi(x)=\varphi\left(x^{1}, \cdots, x^{n}\right)\)的线性连续泛函\(f\).