二项式系数，组合数

upd on 2023.2.22：今天是 b20 日，发现我半年多前写的这个东西是个什么几把，决定找时间翻修一下。

首先那些最基本的东西应该都不用说了。加法原理乘法原理小学生都会，组合数排列数初中也该会了（最起码应该见过吧）。下面讲一点别的。

多重集的排列数：一个多重集，\(n\)个元素，有\(k\)种，它的全排列是

\[\frac {n!}{\prod_{i=1}^kn_k!} \]

感性理解一下就是整个的全排列除以每个相同元素内部的全排列（因为它们都是一样的）。

多重集的组合数：从这个多重集中选出\(r\)个\((r\le n_i)\)组成一个多重集的选法为\(\binom{r+k-1}{k-1}\)。

不相邻排列：从\(1-n\)这些自然数中选\(k\)个互不相邻的数的选法数为\(\binom{n-k+1}k\)。
证明考虑插板法，设\(n=m+k\)，相当于用\(k\)个数插\(m+1\)个空，即\(\binom{m+1}k=\binom{n-k+1}k\)。

错排：\(1-n\)的全排列，第\(i\)个数不是\(i\)的排列数递推式为：

\[g(1)=0 \ \ \ \ \ \ \ \ g(2)=1 \]

\[g(n)=(n-1)(g(n-1)+g(n-2)) \]

比较重要，有时候很常用。

圆排列：\(n\)个人选\(r\)个围一圈，排列数为\(Q_n^r=\frac {A_n^r}r\)。证明考虑从\(r\)个位置断开，每个位置都是不同排列。

然后是一群组合恒等式。（这个我觉得更不完）

\[\binom nm=\binom n{n-m} \]

相当于取补集，结果不变。

\[\binom nm=\frac nm\binom{n-1}{m-1} \]

把组合数拆开。

\[\binom nm=\binom{n-1}{m}+\binom{n-1}{m-1} \]

考虑组合意义，\(n\)个选\(m\)个相当于这两种情况加起来。

\[(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^kb^{n-k} \]

二项式定理。还有个广义的，\(r\)可以取到全体复数，定义广义二项式系数为\(\binom nm=\frac {n^{\underline{m}}}{m!}\)然后把上界去掉。而且这玩意对阶乘幂也成立。

\[\sum_{i=0}^n\binom ni=2^n \]

二项式定理中\(a=b=1\)的情况。

\[\sum_{i=0}^k \binom ni \binom m{k-i}=\binom{n+m}k \]

范德蒙德卷积。

\[\sum_{i=0}^n\binom ia\binom{n-i}b=\binom{n+1}{a+b+1} \]

倒过来的范德蒙德卷积。有个经典的组合意义。

\[\sum_{i=0}^n(\binom ni)^2=\binom{2n}n \]

上式取\(n=m\)。

\[\binom nr\binom rk=\binom nk\binom{n-k}{r-k} \]

仍然是拆开。

\[\sum_{i=0}^ni\binom ni=n2^{n-1} \]

\[\sum_{i=0}^ni^2\binom ni=n(n+1)2^{n-2} \]

这俩详见CF932E。还有一个题是省选联考那个组合数问题。

\[\sum_{i=0}^n\binom{n-i}i=F_{n+1} \]

\(F\)为斐波那契数列。

\[\sum_{i=0}^m\binom{n+i}{i}=\binom{n+m+1}{m} \]

平行求和法。

\[\sum_{i=0}^n\binom{i}{m}=\binom{n+1}{m+1} \]

上指标求和。

\[\binom{n}{m}=(-1)^m\binom{m-n-1}{m} \]

上指标反转。