【Luogu-P1120】 小木棍 ［数据加强版］

暴搜 + 毒瘤剪枝。

说说这道花了我三四天才调处来的毒瘤暴搜。

事实证明，该借鉴题解时就要借鉴题解。

不过做完这题之后确实对深搜、优化、剪枝有了更深刻的理解。

题意

给 $n$ 个小木棒的长度，求他们最多能拼成的长度相同木棍的长度。

下文为了区分，把短的（用来拼的）叫做（小）木棒，长的（被拼接成的）叫做木棍。

思路

试试我新的思路写法。

1

二分？dp？贪心？似乎都不是。

最后认命地发现它就是一道朴素的暴搜，但却有毒瘤的剪枝。

所以暴搜的大致解法就是：

很明显，我们要先枚举若干根木棍的长度，再拿他来拼接，dfs 判断是否能拼接成功。

每次 dfs 就一根根木棒拼接，看最后是否能拼接成 $n/len$ 根的木棍。

注意输入的时候忽略掉那些长度比 50 要大的木棒。

2

先说有点东西的主函数。

首先，在输入了木棒的长度之后要对他们从大到小排序。

易知，相比一根短木棒，长木棒拼接起来会更有限制性，即更短的木棒可以和其他有更多种拼接可能。

也可以理解为短木棒比长木棒更加灵活。

所以，我们在拼接时，就要优先选择长木棒，其次才是短木棒（优化 1）。

---

其次，可以发现，木棍的长度是有限制的：

1. $len|sum$（其中 sum 是木棒总长度，len 是当前枚举木棍长度）。

   原因很简单，每根木棍的长度相等（题目条件）。

2. $len\le \frac{sum}{2}$ 或 $len\leftarrow sum$。

   因为除了拼接成一根长的木棍之外，木棒至少拼接成两根以上的木棍。

综上所述，

我们只需要枚举 len 从 最长木棒长度（最长木棒不能切割，所以木棒必须包含它）

到 $\frac{sum}{2}$，每次如果成功拼接，直接输出结束程序，否则最后跳出循环输出 sum（优化 2）。

3

然后说说出场率最高的 dfs。

每次传递三个变量——k、lst、rst，分别表示当前拼接的木棍编号、上一根被拼接的木棒编号，以及拼接完当前木棍还需要的木棒长度。

主要分成 3 个部分。

1

如果拼接成功，

即 $k=m$ 且 $rst=0$（其中 m 表示拼接 m 根当前长度的木棍，$m\leftarrow \frac{sum}{len}$），

直接 $flag\leftarrow 1$（表示拼接成功），return; 即可。

2

如果当前木棍拼接完成，

我们就需要从剩下的木棒中挑一根最长的木棒去重新拼接一根木棍。

注意前面每使用一根木棒就要标记，挑选没有使用过的木棒去拼接。

记得回溯要取消使用标记！！！

3

当前木棍没有拼接完，

就继续选择小木棒拼接（没有使用过的）。

注意从 $lst+1$ 开始遍历选择。

4

最后！来说说万恶之源臭名昭著毒瘤至极的剪枝优化。

前两点优化见上文。

dfs 的优化：

1. 每次 dfs 一开始就判断 flag 是否等于 1（优化 3）：

   只需要看当前长度的可行性，所以只要找到一种成功拼接的方式就够了。

2. 只要 $k=m$，就可以直接判定为拼接成功了（优化 4）：

   如果成功到了最后一根木棍的拼接，此时不用继续了，剩下的木棒一定可以拼接成一根完整的木棍。

   因为 $len|sum$ 啊 QwQ。

3. 若当前木棍拼接完了，dfs 了下一根的木棍拼接之后，立马判断是否成功，若是，直接返回，其他类似情况也一样（优化 5）。

4. 重点：在上文 3.3 中述，若已经继续选择了木棒拼接，失败了，且有 $rst=a_i$，证明已失败，直接返回（优化 6）：

   当前选择的木棒 $a_i$ 在此时拼接明显是最优情况（长的优先，且我们是从长到短枚举的）。

   若它在此时拼接都失败，证明前面的拼接有误，所以返回。

   这也是这道题最难想到的剪枝。

5. 每次回溯都要清空 vis 或者 used 数组，这样主函数不需要再 memset，十分省时，可以沿用至其他竞赛（优化 7）.

6. 在 3.3 中，每次处理完一种长度，下次就可以跳过和它长度相同的木棒了。这个预处理出 nxt 数组，这样不需要每次都 while 求下一个下标（优化 8）：

   成功不用重复拼接，失败若长度相同也会失败。

7. 在优化 8 中，如果我们直接跳到了 $n$（最后一根木棒），直接结束即可（优化 9）。

5

总而言之，此题用上了这些优化就可以飞了~QwQ。

竞赛时打暴力可以沿用这些优化剪枝。

“不过话说普及应该不会考这么毒瘤的深搜吧。。就当学学剪枝了。”——21/08/27

上代码上代码。

ps：上文中的 $n$ 在代码中是 $cnt$ + 每一个优化的使用地方均已在注释中标出。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;

#define int long long
#define rint register int
const int maxn = 75;
int n, a[maxn], used[maxn];
int cnt, m, len, sum, minn;
int nxt[maxn];
int flag;

int read ()
{
	int x = 1, s = 0;
	char ch = getchar ();
	while (ch < '0' or ch > '9'){if (ch == '-') x = -1; ch = getchar ();}
	while (ch >= '0' and ch <= '9') s = s * 10 + ch - '0', ch = getchar ();
	return x * s;
}

bool cmp (const int &a, const int &b)
{
	return a > b;
}

void dfs (int k, int lst, int rst)
{
	int i, j;
	if (flag) return;//优化3
	if (k == m)//优化4
	{
		flag = 1;
		return;
	}
	
	if (rst == 0)
	{
		for (i = 1; i <= cnt; i++)
			if (!used[i])
			{
				used[i] = 1;
				dfs (k + 1, i, len - a[i]);
				used[i] = 0;//优化7
				break;
			}
		if (flag) return;//优化5
	}
	
	for (i = lst + 1; i <= cnt; i++)
	{
		if (!used[i] and rst >= a[i])
		{
			used[i] = 1;
			dfs (k, i, rst - a[i]);
			used[i] = 0;//优化7
			if (flag) return;//优化5
			if (rst == a[i]) return;//重点优化6
			i = nxt[i];//优化8
			if (i == cnt) return;//优化9
		}
	}
}

signed main ()
{
	int i, j;
	n = read ();
	for (i = 1; i <= n; i++)
	{
		int x = read ();
		if (x > 50) continue;
		a[++cnt] = x, sum += x, minn = max (minn, x);
	}
	
	sort (a + 1, a + cnt + 1, cmp);//优化1
	nxt[cnt] = cnt;
	for (i = cnt - 1; i >= 1; i--)//优化8
	{
		if (a[i] == a[i + 1]) nxt[i] = nxt[i + 1];
		else nxt[i] = i;	
	}
	
	for (i = minn; i <= sum + 1 >> 1; i++)//优化2
	{
		if (sum % i == 0) 
		{
			len = i, used[1] = 1, flag = 0;
			m = sum / i;
			dfs (1, 1, len - a[1]);
			if (flag) {printf ("%d\n", len); return 0;}
		}
	}
	printf ("%d\n", sum);
	return 0;
}

——$End$——