数论 · 欧拉反演

前言

小性质，$QWQ$。

定理

$n$ 的所有因子的欧拉函数的和为 $n$。

即
$$\sum _{d|n}\phi (d)=n$$

证明

通过积性函数证明。

将所有因子的欧拉函数之和记为 $\sigma (n)$。

1

证明它是积性函数。

设 $m\perp n$，即它们的公因子为 1。

因为 $\phi$ 为积性函数，所以有：

$$\sigma (n)\ast \sigma (m)=\sum _{p|n}\phi (p)\ast \sum _{q|m}\phi (q)=\sum _{p|n}\sum _{q|m}\phi (p)\ast \phi (q)=\sum _{p|n}\sum _{q|m}\phi (pq)$$

因为所有 $pq$ 之和就是 $nm$ 的因子之和，所以：

$$\sigma (n)\ast \sigma (m)=\sigma (nm)$$

2

对于 $m=p^k$，$p$ 为素数时，根据欧拉函数的性质，有：

$$\sigma (m)=\sum _{i=0}^k\phi (p_i)=1+(p-1)+(p^2-p)+\cdots +(p^k-p^{k-1})=p^k=m$$

注：当 $m$ 为素数时即 $k$ 的值为 1 的情况。

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$\phi (p^k)=p^k-p^{k-1}$ 的补充证明。

证明：

一共有 $p_k$ 个数。

而与 $p_k$ 不互质的数只有 $p$ 的正整数倍数，而它们又是均匀分布的，所以个数为：$p^k÷p=p^{k-1}$。

所以答案即为所有数个数减去与 $p^k$ 不互质的数个数，即：

$$\phi (p^k)=p^k-p^{k-1}$$

证毕。

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3

综上，可得出：

$$\sigma (n)=\sum \sigma (p_i^{k_i})=\sum p_i^{k_i}=n$$

证毕。

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——$End$——