数论 · 扩展中国剩余定理（EXCRT）

问题

已知有：

$$\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1)\\ x\equiv a_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_2)\\ \cdots \\ x\equiv a_k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_k)\end{array}$$

在$m$ 数组的数两两不一定不互质的情况下，求 $x$ 的最小非负整数解。

求解

假设我们已经求解出了前 $(k-1)$ 个方程的解为 $x$，且有 $M$ 为 $LC{M}_{i=1}^{k-1}{m}_i$。

此时易知前 $k$ 个方程的通解就是 $x+t\ast M$（$t$ 为整）。

现在我们要求解一个 $t^{\prime }$，使得 $x+t^{\prime }\ast M\equiv a_k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_k)$。

转换一下就是 $m_k\ast r+t^{\prime }\ast M=a_k-x$。

exgcd无处不在！！

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假设我们现在用扩欧几里得求解方程 $a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }$，

那么 $a^{\prime }=m_k,b^{\prime }=M,c^{\prime }=a_k-x$。

然后我们解得 $x_0$ 满足 $a^{\prime }x+b^{\prime }y=\gcd (a^{\prime },b^{\prime })$。

转化一下：$x_j=x_0\ast c^{\prime }/\gcd (a^{\prime },b^{\prime })$。

这样我们就有一个解 $x_j$（也就是上柿的 $r$），要求 $x_{min}$。

详情请戳 ->《数论 · 求解线性同余方程》

设 $t=\frac{b^{\prime }}{\gcd (a^{\prime },b^{\prime })}$，就有 $x_{min}=(x_j\%t+t)\%t$。

然后再把它统计到 $x$ 中，这样 $x$ 就是满足前 $k$ 个方程的解了。

别忘了也统计到 $M$ 里面去。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define int long long
#define rint register int
#define fo(i, a, b) for(rint i (a); i <= b; ++i)
const int maxn = 1e5 + 5;

int n, a[maxn], m[maxn];
int x, y;

inline int read ()
{
	int x = 1, s = 0;
	char ch = getchar ();
	while (ch < '0' or ch > '9') {if (ch == '-') x = -1; ch = getchar ();}
	while (ch >= '0' and ch <= '9') s = s * 10 + ch - '0', ch = getchar ();
	return x * s;
}

inline int exgcd (int a, int b)
{
	if (!b)
	{
		x = 1, y = 0;
		return a;
	}
	int res = exgcd (b, a % b);
	int tmp = x;
	x = y, y = tmp - a / b * y;
	return res;
}

inline int pmul (int x, int p, int mod)
{
	int res = 0;
	while (p >= 1)
	{
		if (p & 1)
			res = (res + x) % mod, p -= 1;
		p /= 2, x = (x + x) % mod;
	}
	return res;
}

int M, ans;

inline int excrt ()
{
	M = m[1], ans = a[1];
	fo (i, 2, n)
	{
		int a_ = M, b_ = m[i], c_ = (a[i] - ans % b_ + b_) % b_;
		int gcd = exgcd (a_, b_), bg = b_ / gcd;
		x = pmul (x, c_ / gcd, bg);
		ans = ans + x * M;
		M *= bg, ans = (ans % M + M) % M;
	}
	return ans;
}

signed main ()
{
	n = read ();
	fo (i, 1, n) 
		m[i] = read (), a[i] = read ();
	printf ("%lld\n", excrt ());	
	return 0;
}

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——$End$——