数论 · Lucas 定理

前言

在 A 了 Lucas 模板之后，十几天才弄懂证明。

UPDATE

• 2021 - 12 - 25：学习了 exLucas

  详见 数论 · exLucas 定理

定理

组合数取模

对于整数 $a,b,p$（$p$ 为素数），$a={\sum }_{i=0}^k{a}_i{p}^i,b={\sum }_{j=0}^k{b}_j{p}^j$。

简而言之就是把 $a,b$ 转化为 $p$ 进制下的数。

有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{b}\right)\equiv \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a_k}{b_k}\right)\ast \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a_{k-1}}{b_{k-1}}\right)\cdots \equiv {\prod }_{i=0}^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a_i}{b_i}\right)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$。

证明

先提出一个用二项式定理证的一个柿子 $(1+x{)}^p\equiv 1+x^p(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$。

都要看烂了，就不证了。

根据 $a$ 的 $p$ 进制下拆分，我们有：$(1+x{)}^p=(1+x{)}^{a_0}\ast ((1+x{)}^p{)}^{a_1}\ast ((1+x{)}^{p^2}{)}^{a_2}\ast \cdots ((1+x{)}^{p^k}{)}^{a_k}$。

再结合最上面的柿子，就有 $(1+x{)}^p\equiv (1+x{)}^{a_0}\ast (1+x^p{)}^{a_1}\ast (1+x^{p^2}{)}^{a_2}\ast \cdots \ast (1+x^{p^k}{)}^{a_k}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$。

然后我们考虑左边的柿子，其中 $x^b$ 次方的系数就是 $C_a^b$。

又 $b={\sum }_{j=0}^k{b}_j{p}^j$，

所以在右边的每一个括号的次数 $a_k$ 中，我们挑 $b_k$ 次，再乘起来，就可以得到 $x^b$ 项。对于第 $k$ 个括号，就有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a_k}{b_k}\right)$ 中挑 $b_k$ 次的方式。

这样就得到了 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{b}\right)\equiv \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a_0}{b_0}\right)\ast \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a_1}{b_1}\right)\ast \cdots \ast \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a_k}{b_k}\right)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$。

按照这个柿子，我们就可以递归求解 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{b}\right)\%p$了。

证毕！

代码

其中，$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)=\frac{n!}{m!\ast (n-m)!}$，这个可以预处理出每个数的阶乘再带入求值，除法直接用 逆元 即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
#define rint register int
const int maxn = 1e5 + 5;
int T, n, m, p;
int a[maxn];

inline int read ()
{
	int x = 1, s = 0;
	char ch = getchar ();
	while (ch < '0' or ch > '9') {if (ch == '-') x = -1; ch = getchar ();}
	while (ch >= '0' and ch <= '9') s = s * 10 + ch - '0', ch = getchar ();
	return s * x;
}

inline int pow (int x, int t)
{
	int res = 1;
	x %= p;
	while (t >= 1)
	{
		if (t & 1) 
			res = res * x % p, t -= 1;
		t /= 2, x = x * x % p; 
	}
	return res;
}

inline int inv (int x)
{
	return pow (x, p - 2);
}

inline int cm (int n, int m)
{
	if (m > n) return 0;
	return ((a[n] * inv (a[m])) % p * inv (a[n - m]) % p);
}

inline int lucas (int a, int b)
{
	if (!b) return 1;
	return cm (a % p, b % p) * lucas (a / p, b / p) % p;
}

signed main ()
{
	a[0] = 1;
	T = read ();
	while (T--)
	{
		n = read (), m = read (), p = read ();
		for (rint i (1); i <= p; ++i) 
			a[i] = a[i - 1] * i % p;
		printf ("%lld\n", lucas (n + m, n));
	}
	return 0;
}

---

——$End$——