数论 · 扩展欧几里得算法

问题

扩展欧几里得算法是用来在已知 $(a,b)$ 时，求解一组 $(p,q)$，使得

$$p\times a+q\times b=\gcd (a,b)$$

求解

首先，解一定存在（证明略）。

其次，由 $\gcd (a,b)=\gcd (b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$ 可得：

$$p^{\prime }\times a+q^{\prime }\times b=\gcd (b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)=p\times b+q\times (a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)=p\times b+q\times (a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times b)=q\times a+(p-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times q)\times b$$

注意，在这一行柿子中，$p^{\prime },q^{\prime }$ 是当前求解的答案，$p,q$ 是上一次已经求出的答案。

因为当前 exgcd 中的 a 和 b 与上一次 exgcd 中的 a 和 b 不同，所以对应的解不同。

所以，当 $a$ 和 $b$ 都在减小时，就可以得出 $p=1,q=0$。

然后递归回去的时候就可以求出最终的 $p$ 和 $q$ 了。

代码

inline void exgcd (int a, int b)//求解 ap + bq = gcd (a, b) 时的 p 和 q
{
	if (!b)//此时有了 gcd (a, b)
	{
		x = 1, y = 0;
		return;
	}
	exgcd (b, a % b);
	int t = x;
	x = y, y = t - a / b * y;
    //此时的 x, y 满足 ax + by = gcd (a, b)
}

——$End$——