【LG-P1251】餐巾计划问题 （费用流-拆点）

传送门：P1251 餐巾计划问题

一个餐厅在相继的 N 天里,每天需用的餐巾数不尽相同。假设第 i 天需要 ri 块餐巾(i = 1, 2, ..., N)。

餐厅可以购买新的餐巾,每块餐巾的费用为 p 分;或者把旧餐巾送到快洗部,洗一块需 m 天,其费用为 f 分;或者送到慢洗部,洗一块需 n 天(n>m),其费用为 s 分(s<f)。

每天结束时,餐厅必须决定将多少块脏的餐巾送到快洗部,多少块餐巾送到慢洗部,以及多少块保存起来延期送洗。

但是每天洗好的餐巾和购买的新餐巾数之和,要满足当天的需求量。

$\mathfrak{S}\mathfrak{o}\mathfrak{l}\mathfrak{u}\mathfrak{t}\mathfrak{i}\mathfrak{o}\mathfrak{n}$

费用流 + 拆点

此题的建图可以说是非常新奇了。

已知：每天早上要用或收到新的餐巾，晚上要处理脏餐巾。明显每天的早上和晚上操作不同，所以要将每天拆成两个点，早上和晚上。

• 让源点连向晚上，收到待处理脏餐巾，流量为当天使用餐巾数，费用为 0。
• 让早上连向汇点，提供当前所需净餐巾，流量为当天使用餐巾数，费用为 0。显然，当这条路流量满时，代表当天所需餐巾量已达到。

这样连接，保证了网络的联通性，同时可以在此基础上使用费用流解决此问题。

然后再来看其余四种操作：

• 快洗：因为是晚上送去白天收到使用，所以自当天晚上连向 $m$ 天后的早上， 费用为 $f$，流量为 $inf$。
• 慢洗：同理。
• 残留餐巾：从今天晚上留到明天晚上，所以自当天晚上连向明天晚上，费用为 0，流量为 $inf$。
• 购买新餐巾：自源点连向早上，费用为 $p$，流量为 $inf$。

综上，易知当这个网络自源点向汇点连通时，满足每一天早上都有当天所需所有餐巾。所以在此基础上可以去跑费用流了。

$\mathfrak{C}\mathfrak{o}\mathfrak{d}\mathfrak{e}+\mathfrak{N}\mathfrak{o}\mathfrak{t}\mathfrak{e}\mathfrak{s}$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define int long long
#define inf 2147483647
#define rep(i, a, b) for(int i = a; i <= b; ++i)
const int maxn = 5005;
const int maxm = 2e5 + 5;
int n, p, m, ss, f, q, s, t;
bool vis[maxn];
int incf[maxn], dis[maxn], pre[maxn], mxfl, mxcs;
int cnt = 1, hd[maxn];
struct node{
	int to, nxt, flw, cst;
}e[maxm];

inline void add(int u, int v, int w, int c)
{
	e[++cnt].to = v;
	e[cnt].nxt = hd[u], e[cnt].flw = w, e[cnt].cst = c;
	hd[u] = cnt;
	e[++cnt].to = u;
	e[cnt].nxt = hd[v], e[cnt].flw = 0, e[cnt].cst = -c;
	hd[v] = cnt;
}

inline bool spfa()
{
	queue <int> q;
	memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
	memset(vis, 0, sizeof vis);
	q.push(s), vis[s] = 1, dis[s] = 0, incf[s] = 2147483647;
	while(!q.empty())
	{
		int u = q.front();
		q.pop(), vis[u] = 0;
		for(int i = hd[u], v; i; i = e[i].nxt)
		{
			if(!e[i].flw) continue;//注意不要漏掉 
			if(dis[v = e[i].to] > dis[u] + e[i].cst)
			{
				dis[v] = dis[u] + e[i].cst;//记录一路上的费用 
				incf[v] = min(incf[u], e[i].flw);//最终能流到 v点的流量 
				pre[v] = i;//记录路径 
				if(!vis[v]) vis[v] = 1, q.push(v);
			}
		}
	}
	if(dis[t] != dis[n * 2 + 2]) return true;
	return false;
}

inline void mcmf()
{
	while(spfa())//多次增广 
	{
		mxfl += incf[t];
		mxcs += incf[t] * dis[t];
		int x = t, i;
		while(x != s)
		{
			i = pre[x];
			e[i].flw -= incf[t], e[i ^ 1].flw += incf[t];
			x = e[i ^ 1].to;
		}
	}
}

signed main()
{
	/*
	1.自源点向每天晚上连边	费用为 0	流量为 xi（当天使用餐巾数） 
	2.自每天早上向汇点连边	费用为 0	流量为 xi（当天所需餐巾数） 
	3.晚上快洗到若干天后早上	费用为 f 流量为 inf 
	4.同3，慢洗 	费用为 s	流量为 inf	 
	5.自源点向每天早上连边，买新的餐巾	费用为 p 流量为 inf 
	6.残留餐巾，将今天晚上向明天晚上连边	费用为 0	流量为 inf 
	*/ 
	scanf("%lld", &n);
	s = 0, t = n * 2 + 1;
	rep(i, 1, n)
	{
		int x;
		scanf("%lld", &x);
		add(s, n + i, x, 0)/*建图 1*/, add(i, t, x, 0)/*建图 2*/;
	}
	scanf("%lld %lld %lld %lld %lld", &p, &m, &f, &q, &ss);
	rep(i, 1, n)
	{
		add(s, i, inf, p);//建图 5 
		if(i < n) add(n + i, n + i + 1, inf, 0);//建图 6 
		if(i + m <= n) add(n + i, i + m, inf, f);//建图 3 
		if(i + q <= n) add(n + i, i + q, inf, ss);//建图 4 
	}
	mcmf();
	printf("%lld\n", mxcs);
	return 0;
}

---

——$\mathfrak{E}\mathfrak{n}\mathfrak{d}$——