Newton迭代法求平方根

牛顿迭代法求根 (即曲线与x坐标轴交点) :

在曲线的一点P1(a, f(a)), 做切线, 

切线与x轴, 相交于 A 点,

A点做垂线

与曲线交于 P2(b, f(b)) 点,

在P2点继续做切线，

切线与x轴, 相交于 B 点,

...

重复此步骤, 与x轴的交点, A, B, ... 会趋近于曲线的根。

 

正在学习go, go语言实现版, 求2的平方根:

package main

import (
        "fmt"
        "math"
)

const STEP_CNT = 10

func sqrt(x float64) float64 {
        ft, t := 1.0, 1.0
        for i := 0; i < STEP_CNT; i++ {
                t = ft
                ft = t - (t * t -x) / 2 / t
                fmt.Println("step: ", i, ft)
        }
        return ft
}

func main() {
        fmt.Println(sqrt(2))
        fmt.Println(math.Sqrt(2))
}

 

曲线上选一点 P1(t, f(t)), 本例中 曲线方程为 y = x² - 2, 因此f(t) = t² - 2

P1切线方程为 y = f(t) + k(x - t), 斜率k 为2t， 因此 y = f(t) + k (x - t)

切线与x轴交点, 即f(t) + k(x - t) = 0  =>  x = t - f(t)/k

因此迭代为 : t_{n+1 =} t_n - f(t_n)/k , 其中 f(t) = t² - 2，k = 2t

因此  t_{n+1 =} t_n - (t_n * t_n - 2) / 2t_n

代码中 ft = t - (t * t - x ) / 2 / t 即由此得来。

 

扩展打到求高次幂。

 t_{n+1 =} t_n - f(t_n)/k,   f(t) = t^p - value, 求value的 p 次根

f^'(t) = p * t^p-1

代码如下:

package main

import (
	"fmt"
	"math"
)

const STEP_CNT = 10

func sqrt(x float64, n int) float64 {
	if n < 2 {
		return 0
	}

	ft, t := 1.0, 1.0
	for i := 0; i < STEP_CNT; i++ {
		t = ft
		k := float64(n) * math.Pow(t, float64(n - 1))
		f_current := math.Pow(t, float64(n))
		ft = t - (f_current - x) / k
		fmt.Println("step: ", i, ft)
	}
	return ft
}

func main() {
	fmt.Println(sqrt(81, 4))
	fmt.Println(sqrt(27, 3))
	fmt.Println(sqrt(9, 2))
}