莫比乌斯反演

 莫比乌斯反演在许多情况下可以简化运算。

定理：F（n）和f（n）是定义在非负整数集合上的两个函数，并且满足条件F(n)=∑d|n f(d)。

附：∑d|n 的意思是对所有n的因子d求和。

那么，我们得到结论：

　　　　f(n)=∑d|n μ(d)F(n/d)

在上面的公式中有一个μ(d)函数（莫比乌斯函数），它的定义如下：

(1) 若d==1，那么μ(d)=1;

(2) 若d=p1p2p3...pk,pi均为互异素数，那么μ(d)=(-1)k次方；

(3) 其他情况下μ(d)=0；

对于μ(d)函数，它有如下常见性质：

(1) 对任意正整数n有：∑d|n μ(d)=   1 if(n==1)  else if(n>1)  =0

(2) 对任意正整数n有：∑d|n μ(d)/d = φ(n)/n

用线性筛法求莫比乌斯函数的代码:

bool vis[10045];//标记数组，是否是素数 
int n,cnt,prime[10045],mu[10045]；//n是范围,cnt是素数个数，prime是素数数组，mu是该数的莫比乌斯函数 
void init()
{
    mu[1]=1;//1的莫比乌斯函数是1 
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!vis[i])//如果是素数 
        {
            mu[i]=-1;//k=1，所以该数的莫比乌斯函数是-1 
            prime[++cnt]=i;//记录素数 
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++)//遍历之前的素数，并且i*prime[j]在n的范围内 
        {
            vis[i*prime[j]]=1;//合数 
            if(i%prime[j])//如果i是素数
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];//k+1,所以莫比乌斯函数取相反数 
            else
            {
                mu[i*prime[j]]=0;//其他情况莫比乌斯函数为0 
                break;
            }
        }
    }
}

接下来是莫比乌斯反演定理的证明：

恒等变形得： 

f(n)=∑d|nμ(d)F(nd)=∑d|nμ(d)∑k|ndf(k)=∑k|nf(k)∑d|nkμ(d)

 

因为之前证明的这个定理： 

∑d|nμ(d)={10n==1n>1

 

所以当且仅当nk=1，即n=k时，∑d|nkμ(d)=1,其余时候等于0。 
故

∑k|nf(k)∑d|nkμ(d)=f(n)