极短 mex 区间

Part I 定义

给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，定义一个区间 \([l,r]\) 为 极短 \(\mathrm{mex}\) 区间 当且仅当不存在子区间 \([l',r'] \subseteq [l,r]\) 满足 \(\mathrm{mex}(a_{l'},a_{l'+1},...,a_{r'})=\mathrm{mex}(a_{l},a_{l+1},...,a_r)\)。下文我们用 @ 表示这种区间，用 \(x\) - @ 表示 \(\mathrm{mex}=t\) 的 @。

Part II 性质

对于这种区间最多有 \(2n\) 个。证明如下：

• 首先若 \([l,r]\) 是 @，那么有 \(a_l \ne a_r\)，因为如果相等显然扣掉一边 \(\mathrm{mex}\) 不变得矛盾。

• 那么不妨令 \(a_l>a_r\)，在之后的分析中 \(a_l<a_r\) 是对称的。

• 考虑先扣掉 \(a_l\)。那么因为 \([l,r]\) 是 @，那么扣掉以后 \(\mathrm{mex}\) 一定改变，说明原本的 \(\mathrm{mex}\) 一定是大于 \(a_l\) 的，所以扣掉以后的 \(\mathrm{mex}\) 显然是 \(a_l\)。因此 \([l+1,r]\) 的 \(\mathrm{mex}=a_l\)

• 再扣掉了 \(a_l\) 之后继续扣掉 \(a_r\)，即 \([l+1,r-1]\)。类似的，我们有它的 \(\mathrm{mex}=a_r\)。

• 那么固定 \(l+1\)，即 \(\mathrm{mex}([l+1,r])\) 固定为 \(a_l\)，\(\mathrm{mex}([l+1,r-1])=a_r\) 满足小于 \(\mathrm{mex}([l+1,r])=a_l\)，那么显然至多在一个 \(r\) 处取到。

• 那么对于 \(a_l>a_r\) 的数量上界是 \(n\)，对称到 \(a_l<a_r\) 得到上界是 \(2n\)。

Part III 应用

Part III.1 求解极短 mex 区间

考虑对于所有 @ \(\mathrm{mex}\) 从小到大扫，也就是我们从小到大求出所有 \(t\) - @。

可以发现一件事情，所有 \(t\) - @ 一定是由一个 \(t'\) - @ 再在左端点左边或者右端点右边拼上 \(t'\) 到 \(t-1\) 的数构成的，其中 \(t'<t\)。这一点如何理解呢？对于一个区间 \([l,r]\)，我们考虑从左端点开始一点点往后扩展它，那么显然如果我们每次都往后跳第一个改变 \(\mathrm{mex}\) 的点，那么显然一定能扩展到 \([l,r]\)。

于是我们可以对于所有 \(t\) 维护一个 vector 用来记录候选的 \(t\) -@ 。那么考虑 \(t\) 如何扩展，只需要把所有 \(t\) - @，分别在往左边和右边找到第一个 \(t\) 然后算一下两个的 \(\mathrm{mex}\) 然后放到对应 vector 里面即可。

然后每次新扫到一个 \(t\) 就把它的候选区间全检查一遍就行了，检查是简单的，我们只需要保证 \(\mathrm{mex}([l,r]) \ne \mathrm{mex}([l+1,r])\) 且 \(\mathrm{mex}([l,r]) \ne \mathrm{mex}([l,r-1])\) 即可。

这里所有关于区间 \(\mathrm{mex}\) 的信息都可以用主席树维护。

分析时间复杂度，因为总的可行区间数量是 \(2n\) 级别的，所以任意时刻的 vector 的候选区间数量上界就是 \(4n\)。所以复杂度就是 nlog 级别的，常数不小。

也有使用 ODT 维护的做法，这里不叙述，有意者可自行学习。

Part III 2. 求解极短 mex 区间对应的极长区间

这部分是简单的。

对于一个 @：\([l,r]\)，我们显然只需要向左找到最远的不影响 \(\mathrm{mex}\) 的端点 \(l'\)，向右找到最远的不影响 \(\mathrm{mex}\) 的端点 \(r'\) 即可，对应的极长区间即是 \([l',r']\)。

Part III 3. 丰收

现在我们已经求出了极短和对应极长 \(\mathrm{mex}\) 区间，那么我们考虑一个 @：\([l,r]\) 和它对应的极长 \(\mathrm{mex}\) 区间 \([l',r']\)，以及它们的 \(\mathrm{mex}\) 假设为 \(c\)。那么对于所有 \([l,r] \subset [x,y] \subset [l',r']\) 的 \([x,y]\)，都满足 \(\mathrm{mex}([x,y])=c\)。

我们如果把所有 \([l,r]\) 都看成一个在二维平面上的坐标为 \((l,r)\) 的点，那么很显然对于一组上文表述的 \([l,r],[l',r']\)，就相当于在说明二维平面中一个矩形的点对应区间的 \(\mathrm{mex}=c\)。而我们又知道矩形的个数是 \(O(n)\) 的，并且矩形覆盖有着很好的性质，可以利用这一点解决许多问题。

Part IIII 4. 习题

• P10169 [DTCPC 2024] mex,min,max
• P9970 [THUPC 2024 初赛] 套娃

附录 习题提示

P1:

L0

区间 $\mathrm{mex,min}$ 能同时有值吗？

L1

是否可以容斥？

L2

子区间 $\mathrm{max}$ 有什么性质？

L3

矩形并？

P2:

L0

区间对所有 $k$ 考虑贡献？

L1

区间推平？

L2

直接 ODT 复杂度是对的吗？