BZOJ 4005 [JLOI 2015] 骗我呢

首先，我们可以得到：每一行的数都是互不相同的，所以每一行都会有且仅有一个在 $[0, m]$ 的数没有出现。

我们可以考虑设 $Dp[i][j]$ 为处理完倒数 $i$ 行，倒数第 $i$ 行缺的数字是 $j$ 的方案数。

那么就有：

$$Dp[i][j] = \sum_{k=max(0,j-1)}^{m}Dp[i - 1][k]$$

自己画一画图就可以明白了，在这里就不解释了。毕竟 Gromah 太懒($ru\grave{o}$)

然后我们考虑把这个转移图画出来：

然后就是求这个图中从右上到左下的路径条数嘛。（每次只能往左或者是往右下或者是往下）

转化一下，实际上就是求这个东西：

从 $(0,0)$ 到 $(n*2+m+1,m+1)$，每次可以 $x+1,y-1$ 或者 $x+1,y+1$，并且不穿过 $y=0$ 和 $y=m+1$ 这两条直线的路径条数。

首先，全集是 ${n*2+m+1 \choose m+1}$，

然后我们算穿过 $y=0$ 的路径条数，既然穿过 $y=0$ 就必然经过 $y=-1$，于是我们让终点和 $y=m+2$ 这条直线沿着 $y=-1$ 翻转，

然后就可以算出 $(0,0)$ 到翻转之后的终点的路径条数。

于是还没完。还有那些先穿过 $y=0$ 再又穿过 $y=m+1$ 这条直线的路径我们要加回来。。。

于是又把坐标系沿着翻转之后的 $y=m+2$ （此时应该是 $y=-m-4$ 了）再次翻转。再统计答案。。。

直到方案为 $0$ 了为止。

计算穿过 $y=m+1$ 的路径条数同理。。。

我知道我语言表达能力及其低下，所以还是上代码好了。。。

#include <cmath> 
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
#define N 3000000
#define Mod 1000000007

int n, m, ans = 0;
int Fac[N + 1], Inv[N + 1];

inline int power(int u, int v)
{
    int res = 1;
    for (; v; v >>= 1)
    {
        if (v & 1) res = (LL) res * u % Mod;
        u = (LL) u * u % Mod;
    }
    return res;
}

inline void Prepare()
{
    Fac[0] = Inv[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= N; i ++)
        Fac[i] = (LL) Fac[i - 1] * i % Mod;
    Inv[N] = power(Fac[N], Mod - 2);
    for (int i = N - 1; i ; i --)
        Inv[i] = (LL) Inv[i + 1] * (i + 1) % Mod;
}

inline int C(int u, int v)
{
    if (u < 0 || v < 0 || u < v) return 0;
    return (LL) Fac[u] * Inv[v] % Mod * Inv[u - v] % Mod;
}

inline int T(int u, int v)
{
    if (u < abs(v)) return 0;
    return C(u, u - abs(v) >> 1);
}

inline int Inc(int u, int v)
{
    return u + v - (u + v >= Mod ? Mod : 0);
}

int main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("4005.in", "r", stdin);
        freopen("4005.out", "w", stdout);
    #endif
    
    Prepare();
    scanf("%d%d", &n, &m);
    int x = n * 2 + m + 1;
    ans = T(x, m + 1);
    
    for (int y = m + 1, y_1 = -1, y_2 = m + 2; x >= abs(y); )
    {
        y = 2 * y_1 - y;
        y_2 = 2 * y_1 - y_2;
        ans = Inc(ans, Mod - T(x, y));
        y = 2 * y_2 - y;
        y_1 = 2 * y_2 - y_1;
        ans = Inc(ans, T(x, y));
    }
    
    for (int y = m + 1, y_1 = m + 2, y_2 = -1; x >= abs(y); )
    {
        y = 2 * y_1 - y;
        y_2 = 2 * y_1 - y_2;
        ans = Inc(ans, Mod - T(x, y));
        y = 2 * y_2 - y;
        y_1 = 2 * y_2 - y_1;
        ans = Inc(ans, T(x, y));
    }
    
    printf("%d\n", ans);
    
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        fclose(stdin);
        fclose(stdout);
    #endif
    return 0;
}