算法笔记_python
算法
概念
一个计算过程，解决问题的方法。
“程序” = 数据 + 算法
"算法" = 数据结构 + 控制流程
时间复杂度
时间复杂度是用来估计算法运行时间的一个式子（单位）。
一般来说，时间复杂度高的算法比复杂度低的算法慢。
常见的时间复杂度（按效率排序）：
O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n²) < O(n²logn) < O(n³)
复杂问题的时间复杂度：
O(n!) O(2^n). O(n^n)
# O(1)
print('hello world')
# O(n)
for i in range(n):
print('hello world')
# O(n²)
for i in range(n):
for j in range(n):
print('hello world')
# O(n³)
for i in range(n):
for i in range(n):
for i in range(n):
print('hello world')
# O(logn)
while n > 1:
print(n)
n = n // 2
"""
n的输出为： ==> 2⁶ = 64
64 log₂64 = 6
32
16
8
4 所以时间复杂度记为：O(log₂n)或O(logn)
2 ps: 当算法过程中出现循环折半的时候，复杂度式子中会出现logn
"""
上面的代码我们可以用时间复杂度来表示对应的运行效率
分别表示为：O(1) O(n) O(n²) O(n³) O(log₂n)
如何快速判断算法复杂度
确认问题规模n
循环减半过程--> logn
k层关于n的循环 --> n^k
空间复杂度
空间复杂度：用来评估算法内存占用大小的式子
空间复杂度的表示方式与时间复杂度完全一样
算法使用了几个变量：O(1)
算法使用了长度为n的一维列表：O(n)
算法使用了m行n列的二维列表：O(mn)
空间换时间
递归原理
func3先打印在执行函数，func4先执行函数在打印
汉诺塔问题
# 使用递归解决
"""
思路：
将汉诺塔想象为上下两部分，上面部分的就是n-1个，下面部分就剩最后一个
经过3步最后将汉诺塔从a柱子移动到了c柱子
"""
def hanoi(n, a, b, c):
"""
n 表示汉诺塔的层数
a b c 的含义表示：从a经过b移动到了c(只是针对这三个对应的位置)
"""
if n > 0:
hanoi(n-1, a, c, b) # 第一步：将上面部分 从a经过c移ang动到了b
print('moving from %s to %s' % (a, c)) # 第二步：将下面部分 从a移动到了c
hanoi(n-1, b, a, c) # 第三步：将上面部分从b经过a移动到了c
hanoi(3, 'A', 'B', 'C')
"""
moving from A to C
moving from A to B
moving from C to B
moving from A to C
moving from B to A
moving from B to C
moving from A to C
"""
顺序查找
顺序查找，也叫线性查找，从列表的第一个元素开始，顺序进行搜索，直到找到元素或搜素到列表最后一个元素为止。
时间复杂度：O(n)
def liner_search(lst, val):
for i, v in enumerate(lst):
if v == val:
return i
return None
a = liner_search([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8], 3)
print(a)
二分查找
二分查找：又叫折半查找，从有序列表的初始候选区
li[0:n]开始，通过对待查找的值与候选区中间值的比较，可以使候选区减少一半。列表是有序的
时间复杂度：O(logn)
def binary_search(lst, val):
"""
left right 指的都是lst中元素的索引, mid 指的中间值
"""
left = 0
right = len(lst) - 1
while left <= right: # 候选区有值
mid = (left + right) // 2
if lst[mid] == val:
return mid
elif lst[mid] > val: # 待查找值在mid的左侧
right = mid - 1
else: # 待查找值在mid的右侧
left = mid + 1
else:
return None
a = binary_search([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8], 3)
print(a)
列表排序
排序：将一组“无序”的记录序列调整为“有序”的记录序列。
列表排序：将无序列表变为有序列表
升序和降序
内置排序函数：sort()
常见的排序算法
- 排序LowB三人组
- 冒泡排序
- 选择排序
- 插入排序
- 排序NB三人组
- 快速排序
- 堆排序
- 归并排序
- 其他排序
- 希尔排序
- 计数排序
- 基数排序
LowB 三人组
冒泡排序
列表每两个相邻的数，如果前面比后面大，则交换这两个数
一趟排序完成后，则无序区减少一个数，有序区增加一个数
时间复杂度：O(n²)
import random
def bubble_sort(lst):
for i in range(len(lst) - 1): # i：第几趟 len(lst) - 1: 循环的趟数
for j in range(len(lst) - i - 1): # j: 指针 len(lst) -i - 1: 循环一趟指针经过的次数
if lst[j] > lst[j + 1]:
lst[j], lst[j + 1] = lst[j + 1], lst[j]
lst = [random.randint(0, 10000) for i in range(1000)]
bubble_sort(lst)
print(lst)
优化：
# 如果前面几次已经排好序了，则后面就不需要在循环
import random
def bubble_sort(lst):
for i in range(len(lst) - 1): # i：第几趟 len(lst) - 1: 循环的趟数
exchange = False
for j in range(len(lst) - i - 1): # j: 指针 len(lst) -i - 1: 循环一趟指针经过的次数
if lst[j] > lst[j + 1]:
lst[j], lst[j + 1] = lst[j + 1], lst[j]
exchange = True
if not exchange:
return
lst = [random.randint(0, 10000) for i in range(1000)]
bubble_sort(lst)
print(lst)
选择排序
一趟排序记录最小的数，放到第一个位置
再一趟排序记录列表无序区最小的数，放到第二个位置
算法关键点：有序区和无序区，无序区最小数的位置
时间复杂度：O(n²)
# 不推荐
def select_sort_simple(lst):
lst_new = []
for i in range(len(lst)):
min_val = min(lst)
lst_new.append(min_val)
lst.remove(min_val)
return lst_new
"""
时间复杂度：O(n²)
但是生成了新的列表，相当于多占用了一份内存
"""
# 推荐
def select_sort(lst):
for i in range(len(lst) - 1):
min_index = i # 先认为无序区的第一个值就是最小值
for j in range(i + 1, len(lst)):
if lst[j] < lst[min_index]:
min_index = j
if min_index != i:
lst[i], lst[min_index] = lst[min_index], lst[i]
"""
时间复杂度：O(n²)
"""
插入排序
初始时手里（有序区）只有一张牌
每次（从无序区）摸一张牌，插入到手里已有牌的正确位置
时间复杂度：O(n²)
def insert_sort(lst):
for i in range(1, len(lst)):
tmp = lst[i]
j = i - 1
"""
i: 拿取的牌的索引
tmp: 拿取的牌
j: 手中牌的索引
解析：
原列表 [5, 3, 2, 1, 4] = > 5 [3, 2, 1, 4]
我们可以把lst分为两部分，左边5就是我们拿在手里的牌，右边就是待拿取的牌
"""
while j >= 0 and tmp < lst[j]: # lst[j] 手中的牌
lst[j + 1] = lst[j] # lst[j] 小于新拿的牌，所以lst[j]向右移动
j = j - 1
lst[j + 1] = tmp
return lst
lst = [5, 3, 2, 1, 4]
print(insert_sort(lst))
NB三人组
快速排序
取一个元素p(第一个元素)，使元素p归位
列表被p分成两部分，左边都比p小，右边都比p大
递归完成排序
时间复杂度：O(nlogn)
# 修改递归的深度
import sys
sys.setrecursionlimit(10000)
def partition(lst, left, right):
"""
tmp：找出的中间的那个数
left最左边的数
right最右边的数
目标：找出比tem小的放到左边，比tmp大的放到右边
"""
tmp = lst[left]
while left < right:
while left < right and lst[right] >= tmp: # 从右边找比tem小的数
right -= 1
lst[left] = lst[right] # 把右边的值放到左边的空位上
while left < right and lst[left] <= tmp:
left += 1
lst[right] = lst[left] # 把左边的值放到右边的空位上
lst[left] = tmp
return left # 返回mid的值
def quick_sort(lst, left, right):
if left < right: # 至少两个元素
mid = partition(lst, left, right) # 第一次执行partition将列表分为左右两部分
quick_sort(lst, left, mid - 1)
quick_sort(lst, mid + 1, right)
lst = [5, 7, 4, 6, 3, 1, 2, 9, 8]
quick_sort(lst, 0, len(lst) - 1)
print(lst)
堆排序
堆排序前传-树
树是一种数据结构 比如：目录结构
树是一种可以递归定义的数据结构
树是由n个节点组成的集合：
如果n=0，那这是一颗空树
如果n>0，那存在1个节点作为树的根节点，其他节点可以分为m个集合，每个集合本身又是一颗树
一些概念：（参考下图）
- 根节点、叶子节点 ：a就是根节点，bchipqklmn可以理解为叶子节点
- 树的深度：下图中树的深度为4
- 树的度：下图中为6，可以理解为叉最多的那个节点的字节点数
- 孩子节点/父节点：比如E叫做I的父节点，I叫做E的孩子节点
- 子树：比如这里的E IJP如果单独拿出来就形成了一个子树
时间复杂度：O(nlogn)
堆排序前传-二叉树
二叉树：度不超过2的树
每个节点最多有两个孩子节点
两个孩子节点被区分为左孩子节点和右孩子节点
堆排序前传-完全二叉树
满二叉树：一个二叉树，如果每一层的节点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。
完全二叉树：叶节点只能出现在最下层和次下层，并且最下面一层的节点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树。
堆排序前传-二叉树的存储方式
链式存储方式
顺序存储方式
顺序存储方式
堆排序-什么是堆
堆：一种特殊的完全二叉树结构
- 大根堆：一颗完全二叉树，满足任一节点都比其孩子节点大
- 小根堆：一颗完全二叉树，满足任一节点都比其孩子节点小
堆排序-堆的向下调整
图1中根节点比子节点要小，不满足一个堆的特点，所以对2这个节点进行向下调整，逐渐向下找合适的数放到合适的节点，形成一个堆（图2）
图1
图2
# 堆的向下调整
def sift(lst, low, height):
"""
:param lst: 列表
:param low: 堆的根节点位置
:param height: 堆的最后一个元素的位置
:return: 调整好的一个堆(完全二叉树)
"""
i = low # i最开始指向根节点的位置
j = 2 * i + 1 # j开始指向的是i的左孩子节点的位置
tmp = lst[low]
while j <= height: # 如果左孩子的位置<= 最后一个元素的位置
if j + 1 <= height and lst[j + 1] > lst[j]: # 如果有右孩子且比左孩子大
j = j + 1 # j指向了右孩子
if lst[j] > tmp: # 如果左孩子大于堆顶元素
lst[i] = lst[j]
i = j
j = 2 * i + 1
else:
lst[i] = tmp
else:
lst[i] = tmp
堆排序- 构造堆
- 先找到最后一个非叶子节点（图中的3）
- 按堆的结构进行调整（3和5交换）
- 然后依次向上找（找到节点1，然后调整1和7的位置）
构造后
# 构造堆
def heap_sort(lst):
pass
"""
如果最后一个节点的位置是i，那么父亲节点的位置就是 (i - 1) // 2
在这里list中最后一个数的位置是i - 1, 所以父节点的位置就是 (i - 2) // 2
"""
n = len(lst)
for i in range((n-2)//2, -1, -1): # i代表建堆的时候调整的位置的根的下标(比如第一次就是图1中的3)
sift(lst, i, n - 1)
# 建堆完成
堆排序的过程
- 建立堆（通过向下调整）
- 得到堆顶元素，为最大元素
- 去掉堆顶，将堆最后一个元素放到堆顶，此时可通过一次向下调整使堆重新有序
- 堆顶元素为第二个元素
- 重复步骤3，直到堆变空
# 1.构造堆
def heap_sort(lst):
"""
如果最后一个节点的位置是i，那么父亲节点的位置就是 (i - 1) // 2
在这里list中最后一个数的位置是i - 1, 所以父节点的位置就是 (i - 2) // 2
"""
# 2. 向下调整
n = len(lst)
for i in range((n-2)//2, -1, -1): # i代表建堆的时候调整的位置的根的下标(比如第一次就是图1中的3)
sift(lst, i, n - 1)
# 建堆完成
# 3.挨个出数
for i in range(n - 1, -1, -1): # i指的是当前堆的最后一个元素
lst[0], lst[i] = lst[i], lst[0]
sift(lst, 0, i - 1)
import random
lst = [i for i in range(11)]
random.shuffle(lst)
print(lst)
heap_sort(lst)
print(lst)
其他：python内置模块
import heapq
heapq.heapify(lst) # 建堆，建立的是小根堆
heapq.heappop(lst) # 取出最小的那个数
堆排序-topk问题
现在有n个数，设计算法得到前k大的数。（k<n）
解决思路：
- 排序后切片 O(nlogn)
- 排序LowB三人组（若采用冒泡排序，只取前面k个数， 时间复杂度O(kn)）
- 堆排序思路 O(klogn)
- 取列表前k个元素建立一个小根堆，堆顶就是目前第k大的数
- 依次向后遍历原列表，对于列表中的元素，如果小于堆顶，则忽略该元素，如果大于堆顶，则将堆顶更换为该元素，并且对堆进行一次调整
- 遍历列表所有元素后，倒序弹出堆顶
使用堆排序实现
将列表中前五个数取出组成一个小根堆，然后...
# 基于建立小根堆的原理修改一下sift函数
def sift(lst, low, high):
"""
:param lst: 列表
:param low: 堆的根节点位置
:param high: 堆的最后一个元素的位置
:return: 调整好的一个堆(完全二叉树)
"""
i = low # i最开始指向根节点的位置
j = 2 * i + 1 # j开始指向的是i的左孩子节点的位置
tmp = lst[low]
while j <= high: # 如果左孩子的位置<= 最后一个元素的位置
if j + 1 <= high and lst[j + 1] < lst[j]: # 如果有右孩子且比左孩子大
j = j + 1 # j指向了右孩子
if lst[j] < tmp: # 如果左孩子大于堆顶元素
lst[i] = lst[j]
i = j
j = 2 * i + 1
else:
lst[i] = tmp
break
else:
lst[i] = tmp
def topk(lst, k):
heap = lst[0: k]
# 建堆
for i in range((k-2)//2, -1, -1):
sift(heap, i, k - 1)
# 2. 遍历
for i in range(k, len(lst)-1):
if lst[i] > heap[0]: # 如果这个数大于堆顶的数，就替换
heap[0] = lst[i]
sift(heap, 0, k - 1) # 在对前k个数组成的堆排序
# 3. 挨个出书
for i in range(k-1, -1, -1):
heap[0], heap[i] = heap[i], heap[0]
sift(heap, 0, i - 1)
return heap
import random
lst = [i for i in range(11)]
random.shuffle(lst)
print(lst)
print(topk(lst, 5))
归并排序
归并
比较左右两个列表的数，然后将小的数取出来
# 假设左右两边都是有序的
def merge(lst, low, mid, high):
i = low
j = mid + 1
tmp = []
while i <= mid and j <= high: # 只要左右两边都有数
if lst[i] < lst[j]:
tmp.append(lst[i])
i += 1
else:
tmp.append(lst[j])
j += 1
# 上一个while执行完，可以左边或者右边没有数了
while i <= mid: # 如果左边有数
tmp.append(lst[i])
while j <= high:
tmp.append(lst[j]) # 如果右边有数
lst[low: high + 1] = tmp
使用归并
分解：将列表越分越小，直至分成一个元素
终止条件：一个元素是有序的
合并：将两个有序列表归并，列表越来越大
时间复杂度：O(nlogn)
空间复杂度：O(n)
def merge_sort(lst, low, high):
if low < high:
mid = (low + high) // 2
merge_sort(lst, low, mid)
merge_sort(lst, mid + 1, high)
merge(lst, low, mid, high)
NB三人组小结
三种排序算法的时间复杂度都是O(nlogn)
一般情况而言，就运行时间而言：
- 快速排序 < 归并排序 < 堆排序
三种排序算法的缺点：
- 快速排序：极端情况下排序效率低
- 归并排序：需要额外的内存开销
- 堆排序：在快的排序算法中相对较慢
总结
其他排序
希尔排序
分组
def insert_sort_gap(lst, gap):
for i in range(gap, len(lst)):
tmp = lst[i]
j = i - gap
while j >=0 and lst[j] > tmp:
lst[j+gap] = lst[j]
j -= gap
lst[j + gap] = tmp
def shell_sort(lst):
d = len(lst) // 2
while d >= 1:
insert_sort_gap(lst, d)
d //= 2
计数排序
对列表进行排序，已知列表中的数范围都在0-100之内。
时间复杂度：O(n)
def count_sort(lst, max_count=100):
# 约束条件：需要知道列表中最大的数是多少
count = [0 for _ in range(max_count + 1)]
for val in lst:
count[val] += 1
lst.clear()
for index, val in enumerate(count):
for i in range(val):
lst.append(index)
import random
lst = [random.randint(0, 100) for _ in range(1000)]
count_sort(lst)
print(lst)
桶排序
# 条件，知道列表中的最大值
def bucket_sort(lst, n=100, max_num=10000):
buckets = [[] for _ in range(n)] # 创建n个桶
for var in lst: # 判断桶应该放到哪个桶里
i = min(var // (max_num // n), n - 1) # i 表示var放到几号桶里
buckets[i].append(var)
for j in range(len(buckets[i]) - 1, 0, -1): # 对桶内的数排序
if buckets[i][j] < buckets[i][j - 1]:
buckets[i][j], buckets[i][j-1] = buckets[i][j-1], buckets[i][j],
else:
break
# 输出桶中的元素
sorted_lst = []
for buc in buckets:
sorted_lst.extend(buc)
return sorted_lst
基数排序
时间复杂度：O(kn)
空间复杂度：O(k+n)
k表示数字位数
import random
def radix_sort(lst):
max_num = max(lst) # 最大数 99 ->2, 888 -> 3, 10000 -> 5
it = 0 # 记录要循环多少次
while 10 ** it <= max_num:
buckets = [[] for _ in range(10)]
for var in lst:
digit = (var//10**it) % 10
buckets[digit].append(var)
lst.clear()
for buc in buckets:
lst.extend(buc)
it += 1
print(lst)
lst = list(range(1000))
random.shuffle(lst)
radix_sort(lst)
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