并查集与带权并查集---由浅入深

并查集 

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 基本概念

​ 并查集，在一些有N个元素的集合应用问题中，我们通常是在开始时让每个元素构成一个单元素的集合，然后按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并，其间要反复查找一个元素在哪个集合中。

​ 并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查询问题。常常在使用中以森林来表示。

实现原理

​ 通过更新维护父亲节点使得，合并后的集合最终拥有同一个点根节点，拥有相同根节点即为同类。

• Search 查找自己的根节点；(红圈标记为根节点)

　　

• Merge 合并两个节点在一个集合；(假设寻找合并节点5和2)

　　

• 压缩路径；压缩路径可以使得在多次查询时，查询时间得到优化，具体过程是优化其结构，使得查询点的父亲节点为根节点。(上图压缩路径后得到)  

　　

代码实现

void init(){  // 初始化自己祖先就是自己
    for(int i = 1 ; i<= n; i++){
        pre[i] = i;
    }
}

int Search(int x){  // 递归寻找自己的祖先
    return x == pre[x] ? x : pre[x] = Search(pre[x]);
}

void Merge(int x, int y){ // 合并两个节点
    int fx = Search(x);
    int fy = Search(y);
    if(fx != fy)  pre[fx] = fy; // 把x合并到y即把x祖先设置为y的祖先
}

带权并查集

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基本概念

​ 带权并查集即是结点存有权值信息的并查集；当两个元素之间的关系可以量化，并且关系可以合并时，可以使用带权并查集来维护元素之间的关系；带权并查集每个元素的权通常描述其与并查集中祖先的关系，这种关系如何合并，路径压缩时就如何压缩；带权并查集可以推算集合内点的关系，而一般并查集只能判断属于某个集合。

经典例题

食物链（FJUTOJ2022 & POJ1182）

传送门：FJUTOJ2022 && POJ1182

题意：

动物王国中有三类动物A,B,C，A吃B， B吃C，C吃A。
现有N个动物，以1－N编号。每个动物都是A,B,C中的一种，但是我们并不知道它到底是哪一种。
用两种说法对这N个动物所构成的食物链关系进行描述：

• "1 X Y"，表示X和Y是同类。
• "2 X Y"，表示X吃Y。

给出K句话，有些是真的，有些是假的，满足下列任一条件即为假话，否则是真话：
1） 当前的话与前面的某些真的话冲突，就是假话；
2） 当前的话中X或Y比N大，就是假话；
3） 当前的话表示X吃X，就是假话。

输出假话的数量；

解题思路：

​ 这个题目需要维护推算集合内部的关系，所以可以利用带权并查集解决。

​ 创建利用pre数组和rela数组判断集合关系，pre判断集合之间的关系，rela判断集合内部元素的关系，这题我们可以建立三种关系同类，捕食，和被捕食三种关系，我们在rela数组中分别用0，1，2表示：

1.  0表示和根节点是同类关系
2.  1表示和跟节点是捕食关系(吃根节点)
3.  2表示和根节点是被捕食关系(被根节点吃)

​ 确定表示了三种关系表示，剩下是需要维护的关系，我们需要维护些什么关系呢？

​ 首先是合并考虑压缩路径时的关系维护，我们压缩路径时已知B和A的关系，以及A和A根节点的关系，需要推导出B和A根节点的关系，如图是我们橙色线是我们要推导出的关系，黑色线是以知关系。

　　

我们列举所有情况在表格中来看，是否存在某种关系。

结点A与根关系	结点B与A关系	B与根关系
0	0	0
0	1	1
0	2	2
1	0	1
1	1	2
1	2	0
2	0	2
2	1	0
2	2	1

从表格中我们显然可以得到关系` rela[b] = (rela[a] + rela[b]) % 3`压缩路径关系的代码如下。

int Find(int x){   // 查找当前结点的根节点
    if(x == pre[x]) return x;
    else{       // 压缩路径
        int temp = pre[x];
        pre[x] = Find(pre[x]); // 递归寻找头根点,压缩路径节点
        rela[x] = (rela[x] + rela[temp]) % 3; // 压缩路径关系
    }
    return pre[x];
}

​ 然后我们考虑关系的查找，我们以及知道A和B在同一集合，即代表他们根节点相同，我们要确定两者之间的关系，我们还是线画出关系图，橙色线是我们要推导出的关系，黑色线是以知关系。

　　

我们同样在表格中写出对应关系

从表格中可以得到关系`relation[a->b] = (rela[a] - rela[b]) % 3`,减法可能会产生负数，所以要先+3再进行取模，查找关系的代码如下

if(Find(x) == Find(y)){ // 如果两个根节点相同
        relation = (rela[x] - rela[y] + 3) % 3; // 推出两个根节点之间的关系
        return relation == r; // 判断给出关系是否与已经存在的关系矛盾
}

结点A与根关系	结点B与根关系	A与B关系
0	0	0
0	1	2
0	2	1
1	0	1
1	1	0
1	2	2
2	0	2
2	1	1
2	2	0

​ 最后我们考虑合并两个节点时关系的维护，我们已经知a和其根节点的关系，以及b和其根节点的关系，当我们把b集合合并到a集合时，我们需要考虑b根节点和a根节点存在的关系，关系图如下，橙色线是我们要推导出的关系，黑色线是以知关系。

　　

关系表如下

结点A与根关系	结点B与根关系	结点B与A的关系	B根节点和A根节点的关系
0	0	0	0
0	0	1	1
0	0	2	2
0	1	0	2
0	1	1	0
0	1	2	1
0	2	0	1
0	2	1	2
0	2	2	0

上面这个表并没有列出所有情况，但是我们已经可以从表格中可以得到关系`relation[pre[b]->prea[a]] = (rela[a] - rela[b] + relation[b -> a]) % 3`合并关系的代码如下

void Merge(int x, int y, int r){ // 合并两个节点关系
    int fx = Find(x);  // 查找 x,y的根节点
    int fy = Find(y);

    if(fx != fy){  //如根节点不同进行合并
        pre[fx] = fy;   //把x节点集合合并到y
        rela[fx] = (rela[y] - rela[x] + r + 3) % 3; //计算x头节点与y头节点的关系
    }
}

AC代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <string>
#include <list>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <stack>
#include <algorithm>
#include <functional>
#define pr pair<int,LL>
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define rep(i,a,n) for (int i=a;i<=n;i++)
#define per(i,a,n) for (int i=a;i>=n;i--)
#define mem(ar,num) memset(ar,num,sizeof(ar))
#define debug(x) cout << #x << ": " << x << endl
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
const int    prime = 999983;
const int    INF = 0x7FFFFFFF;
const LL     INFF =0x7FFFFFFFFFFFFFFF;
const double pi = acos(-1.0);
const double inf = 1e18;
const double eps = 1e-6;
const LL     mod = 1e9 + 7;
const int    maxn = 5e5 + 7;
const int    maxm = 4e6 + 7;


inline int read () {   //读入优化
    int X = 0, w = 1; char ch = 0;
    while(ch < '-') { if(ch == '-') w = -1; ch = getchar(); }
    while(ch >= '0' && ch <= '9') X = (X << 3) + (X << 1) + ch - '0', ch = getchar();
    return X * w;
}

int pre[maxn],rela[maxn];
int n, k, ans;

void init() // 初始化
{
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        pre[i] = i; // 头节点等于自己本身
        rela[i] = 0; // 自己和自己肯定是同类
    }
    ans = 0; //记录假话数量
}

int Find(int x){   // 查找当前结点的根节点
    if(x == pre[x]) return x;
    else{       // 压缩路径
        int temp = pre[x];
        pre[x] = Find(pre[x]); // 递归寻找根节点,压缩路径节点
        rela[x] = (rela[x] + rela[temp]) % 3; // 压缩路径关系
    }
    return pre[x];
}

void Merge(int x, int y, int r){ // 合并两个节点关系
    int fx = Find(x);  // 查找 x,y的根节点
    int fy = Find(y);

    if(fx != fy){  //如根节点不同进行合并
        pre[fx] = fy;   //把x节点集合合并到y
        rela[fx] = (rela[y] - rela[x] + r + 3) % 3; //计算x头节点与y头节点的关系
    }

}

bool solve(int x,int y,int r){ // 判断真话假话
    int relation;
    if(x > n||y > n||(r == 1&&x == y)){ // 根据题意直接判断的假话
            return false;
    }
    if(Find(x) == Find(y)){ // 如果两个根节点相同
        relation = (rela[x] - rela[y] + 3) % 3; // 推出两个根节点之间的关系
        return relation == r; // 判断给出关系是否与已经存在的关系矛盾
    }
    else
        return true; //否则为真
}
/// 0 表示与根节点是同类
/// 1 表示与根节点是捕食关系
/// 2 表示与根节点是被捕食关系
int main()
{
    n = read();
    k = read();
    init();
    int c, x, y;
    while(k--){
        c = read();
        x = read();
        y = read();
        c --;
        if(solve(x,y,c)){
            Merge(x,y,c); //真话合并两个节点关系
        }else{
            ans++; //假话答案自增
        }
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

我在刚学习带权并查集时看的是这位大佬的博客，大家也可以进行参考：带权并查集

第一次写博客，以上是我的一些个人理解，如有错误麻烦各位大佬指正。