使用二叉树的递归套路来解决的问题

作者：Grey

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说明

二叉树的递归套路本质是二叉树的后序遍历，如果你需要你的左树给你一些信息，右树给你一些信息，然后整合得到当前节点的信息，就可以用二叉树的递归套路。

以下问题都可以使用二叉树递归套路来解决，时间复杂度\(O(N)\)（即：经历一次后续遍历的时间复杂度）

是否为平衡二叉树

如何判断一棵树是否是平衡二叉树？有下述三种情况：

平衡二叉树要么是一棵空树；
要么保证左右子树的高度之差不大于 1；
子树也必须是一颗平衡二叉树。

根据上述可能性，我们可以确认当前节点需要左右树给自己汇报如下三个信息。

左右树是否为平衡二叉树；
左右树的高度。

有以上二个信息，就可以判断上述的三种可能性了。

完整代码如下：

public boolean isBalanced(TreeNode root) {
    return process(root).isBST;
}

public Info process(TreeNode root) {
    if (root == null) {
        // 空树默认就是BST
        return new Info(0, true);
    }
    Info left = process(root.left);
    Info right = process(root.right);
    // 根据左树和右树整合成 root 的信息
    return new Info(Math.max(left.height, right.height) + 1, left.isBST && right.isBST && Math.abs(left.height - right.height) <= 1);
}

public class Info {
    public int height;
    public boolean isBST;

    public Info(int height, boolean isBST) {
        this.height = height;
        this.isBST = isBST;
    }
}

是否完全二叉树

什么是完全二叉树：每一层都是满的，或者即便不满，也是从左到右依次变满的

梳理一下一棵树是完全二叉树的可能性，对于一棵树的根节点 root：

如果左右树都是满二叉树，且左右树的高度一致，那么当前节点为根节点的树一定是满二叉树，当然也是完全二叉树。
如果左树是满二叉树，右树是完全二叉树，且左树比右树高度大1，那么当前节点为根节点的树是完全二叉树。
如果左树是满二叉树，右树是完全二叉树，且左右树的高度一致，此时当前节点为根节点的树也是完全二叉树。
如果左树是完全二叉树，右树是满二叉树，且左树高度比右树高度大1，此时当前节点为根节点的树也是完全二叉树。

除了上述四种可能性，其他情况下 root 为根节点的树都不是完全二叉树。

根据上述可能性，我们可以确认当前节点需要左右树给自己汇报如下三个信息。

左右树是否满二叉树
左右树是否完全二叉树
左右树的高度

有以上三个信息，就可以判断上述的三种可能性了。

完整代码如下

public boolean isCompleteTree(TreeNode root) {
    return process(root).isComplete;
}

public Info process(TreeNode head) {
    if (head == null) {
        return new Info(true, true, 0);
    }
    Info left = process(head.left);
    Info right = process(head.right);
    int height = Math.max(left.height, right.height) + 1;
    boolean isFull = left.isFull && right.isFull && (left.height == right.height);
    boolean isComplete = isFull ||
            (left.isFull && right.isFull && (left.height - right.height == 1)) ||
            (left.isFull && right.isComplete && (left.height == right.height)) ||
            (left.isComplete && right.isFull && (left.height - right.height == 1));
    return new Info(isFull, isComplete, height);
}

public class Info {
    public boolean isFull; // 是否为满二叉树
    public boolean isComplete; // 是否为完全二叉树
    public int height; // 树的高度

    public Info(boolean isFull, boolean isComplete, int height) {
        this.isFull = isFull;
        this.isComplete = isComplete;
        this.height = height;
    }
}

是否为搜索二叉树

如何判断是否为二叉搜索树？即：中序遍历严格递增。

对于一棵树的根节点 root，有下述三种情况：

如果当前节点左树右树都不为空，且左右树都是搜索二叉树，且当前节点值比左树最大值都大，比右树最小值要小，则以 root 为根节点的树是二叉搜索树。
如果左树为空，且右树是搜索二叉树，且当前节点值比右树最小值要小。
如果右树为空，且左树是搜索二叉树，且当前节点值比左树最大值要大。
如果左右树都是空，默认当前节点就是二叉搜索树

除此之外，以 root 为节点的二叉树都不是搜索二叉树。

根据上述可能性，我们可以确认当前节点需要左右树给自己汇报如下三个信息。

左右树的最大值
左右树的最小值
左右树是否是搜索二叉树

有以上三个信息，就可以判断上述的四种可能性了。

public boolean isValidBST(TreeNode root) {
    if (root == null) {
        return true;
    }
    return process(root).isBST;
}

public Info process(TreeNode head) {
    if (head == null) {
        return null;
    }
    Info left = process(head.left);
    Info right = process(head.right);
    if (left == null && right == null) {
        return new Info(head.val, head.val, true);
    }
    if (left == null) {
        // right != null
        return new Info(Math.max(head.val, right.max), Math.min(head.val, right.min), head.val < right.min && right.isBST);
    }
    if (right == null) {
        // right != null
        return new Info(Math.max(head.val, left.max), Math.min(head.val, left.min), head.val > left.max && left.isBST);
    }
    // right != null && left != null;
    return new Info(Math.max(head.val, Math.max(left.max, right.max)), Math.min(head.val, Math.min(left.min, right.min)), head.val > left.max && head.val < right.min && left.isBST && right.isBST);
}

public class Info {
    public int max; // 最大值
    public int min; // 最小值
    public boolean isBST; // 是否为搜索二叉树

    public Info(int max, int min, boolean isBST) {
        this.max = max;
        this.min = min;
        this.isBST = isBST;
    }
}

更多地，本题的最优解是 Morris 遍历，可以在满足时间复杂度\(O(N)\)的情况下，空间复杂度达到\(O(1)\)。

关于 Morris 遍历的说明见:Morris 遍历实现二叉树的遍历

完整代码如下

class Solution {
     // Morris遍历，O(1)空间复杂度
    public static boolean isValidBST(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return true;
        }
        boolean ans = true;
        TreeNode pre = null;
        TreeNode mostRight;
        TreeNode cur = root;
        while (cur != null) {
            mostRight = cur.left;
            if (mostRight != null) {
                while (mostRight.right != null && mostRight.right != cur) {
                    mostRight = mostRight.right;
                }
                if (mostRight.right == null) {
                    mostRight.right = cur;
                    cur = cur.left;
                    continue;
                } else {
                    if (pre != null && pre.val >= cur.val) {
                        ans = false;
                    }
                    pre = cur;
                    mostRight.right = null;
                }
            } else {
                if (pre != null && pre.val >= cur.val) {
                    ans = false;
                }
                pre = cur;
            }
            cur = cur.right;
        }
        return ans;
    }

}