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树状数组解决数组单点更新后快速查询区间和的问题

作者:Grey

原文地址:树状数组解决数组单点更新后快速查询区间和的问题

要解决的问题

数组在不变的情况下,前缀和数组可以用来加速生成i ~ j位置的累加和信息, 假设前缀和数组为preSum,那么i...j的累加和

sum[i...j] = preSum[j] - preSum[i-1]

但是如果数组要单点修改,则以上的情况不适用,树状数组(index tree)就是解决这个问题,时间复杂度可以达到O(logN)。

注:本文所有涉及到的数组操作均从下标1开始计算,下标0位置弃而不用

用辅助数组保存累加信息

申请一个辅助数组help, 大小和原始数组arr一样,保存原始数组的累加信息,但是要基于如下规则来保存。

遍历的位置i如果是奇数,则只管自己这个位置的内容,即:arr[i] = help[i]

遍历的位置i如果是偶数,则按如下规律:

00100001 ~ 0010的累加和,
0010000001 ~ 00100的累加和,
01100101 ~ 0110的累加和

...

即某个偶数位置接管的区间是:把这个偶数位置二进制最右边的1抹掉后再加1得出的位置一直到这个位置本身。

比如:

1010111000这个位置,把最右边的1抹掉后,值为1010110000,再加1,值为1010110001,所以1010111000这个位置接管的累加和是从1010110001 ~ 1010111000

通过以上做法生成help数组后,我们可以通过这个help数组快速响应单点更新,并快速求得前缀和。

根据help数组快速计算前缀累加和

按如上流程生成help数组后,如果要计算1..i位置的累加和,则有如下规则:

第一步,提取出i最右侧的1,假设为x,将help[i] + help[i-x],得出a1
第二步,继续提取i-x最右侧的1,假设为y,将a + help[i- x - y],得出a2
...
直到i提取完所有最右侧的1,求累加,得到的结果即为1...i上的累加和。

  public int sum(int index) {
   int ret = 0;
   while (index > 0) {
    ret += tree[index];
    index -= index & -index;
   }
   return ret;
  }

其中index&-index即为index最右侧的1。

i位置的前缀和

如果单点有更新,比如需要在index位置上的值增加一个d,此时需要考虑哪些位置受到了牵连。

单点的二进制最末尾的1加1,依次到数组结尾,都是受到牵连的位置

  public void add(int index, int d) {
   while (index <= N) {
    tree[index] += d;
    index += index & -index;
   }
  }

index += index & -index; 即为受到牵连的位置,所以这些位置都要执行加d的操作。

线段树 VS 树状数组

线段树是树状数组的升级版,树状数组只能做到单点更新后,维持累加和信息的快速更新,线段树可以支持范围更新,但是树状数组可以很方便改成二维或者三维的,对于线段树来说,改成二维的太复杂。

二维树状数组

二维树状数组主要解决:在单点变化时候,快速更新从左上角位置(1,1)累加到(i,j)位置的累加和信息这个问题。

熟悉一维数组后,二维的树状数组比较简单,原先一维数组只需要考虑1...i位置累加和,现在二维除了考虑1...i位置累加和,还要考虑1...j位置的累加和

二维树状数组的sum方法和update方法如下

 private int sum(int row, int col) {
  int sum = 0;
  for (int i = row + 1; i > 0; i -= i & (-i)) {
   for (int j = col + 1; j > 0; j -= j & (-j)) {
    sum += tree[i][j];
   }
  }
  return sum;
 }

 public void update(int row, int col, int val) {
  if (N == 0 || M == 0) {
   return;
  }
  int add = val - nums[row][col];
  nums[row][col] = val;
  for (int i = row + 1; i <= N; i += i & (-i)) {
   for (int j = col + 1; j <= M; j += j & (-j)) {
    tree[i][j] += add;
   }
  }
 }

即在一维的条件下,增加了一个循环。

现在有了二维树状数组,如果要求整个二维平面中,任意[row1,col1]位置到[row2,col2]位置组成的矩形累加和信息,则可以很方便通过二维数状数组计算出来:

 public int sumRegion(int row1, int col1, int row2, int col2) {
  if (N == 0 || M == 0) {
   return 0;
  }
  return sum(row2, col2) + sum(row1 - 1, col1 - 1) - sum(row1 - 1, col2) - sum(row2, col1 - 1);
 }

线段树和树状数组题目

segment-tree

binary-indexed-tree

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算法和数据结构笔记

参考资料

程序员代码面试指南(第2版)

算法和数据结构体系班-左程云

posted @ 2021-09-27 17:04  Grey Zeng  阅读(102)  评论(0编辑  收藏  举报