新光一2026-04-04 T2 P1414

P1414 又是毕业季II

题目背景

“叮铃铃铃”，随着高考最后一科结考铃声的敲响，三年青春时光顿时凝固于此刻。毕业的欣喜怎敌那离别的不舍，憧憬着未来仍毋忘逝去的歌。一千多个日夜的欢笑和泪水，全凝聚在毕业晚会上，相信，这一定是一生最难忘的时刻！

题目描述

彩排了一次，老师不太满意。当然啦，取每位同学的号数来找最大公约数显然不太合理。于是老师给每位同学评了一个能力值。于是现在问题变为，从 \(n\) 个学生中挑出 \(k\) 个人使得他们的默契程度（即能力值的最大公约数）最大。但因为节目太多了，而且每个节目需要的人数又不知道。老师想要知道所有情况下能达到的最大默契程度是多少。这下子更麻烦了，还是交给你吧~

PS：一个数的最大公约数即本身。

输入格式

第一行一个正整数 \(n\)。

第二行为 \(n\) 个空格隔开的正整数，表示每个学生的能力值。

输出格式

总共 \(n\) 行，第 \(i\) 行为 \(k=i\) 情况下的最大默契程度。

输入输出样例 #1

输入 #1

4
1 2 3 4

输出 #1

4
2
1
1

说明/提示

【题目来源】

lzn 原创

【数据范围】

记输入数据中能力值的最大值为 \(\textit{inf}\)。

• 对于 \(20\%\) 的数据，\(n \leq 5\)，\(\textit{inf}\leq 10^3\)；
• 对于另 \(30\%\) 的数据，\(n \leq 100\)，\(\textit{inf} \leq 10\)；
• 对于 \(100\%\) 的数据，\(n \leq 10^4\)，\(\textit{inf} \leq 10^6\)。

思路

一、先看懂题目核心需求
题目简化：
给定 n 个数，对 k=1,2,...,n 分别输出：
从 n 个数里选 k 个数，它们的最大公约数的最大值。
示例：4 个数 [1,2,3,4]
k=1：选最大数 4 → gcd=4
k=2：选 2、4 → gcd=2
k=3：任意 3 个数，最大 gcd=1
k=4：全部选，gcd=1

二、整体解题思路（核心思想）
这道题不能暴力枚举（n=1e4，暴力会超时），正确做法是：
逆向思维：枚举公约数，统计能被它整除的数有多少个
统计每个数字出现的次数
对每个数 d，统计有多少个数是 d 的倍数 → 这个数量就是：最多能选 cnt[d] 个人，让他们的 gcd 至少是 d
最后处理答案：对每个 k，找到最大的 d 满足 cnt[d] ≥ k

时间复杂度O(\(inf\)\(log\)\(inf\))
inf=1e6，完全能通过题目限制
空间复杂度：
O(1e6)
，数组大小合规
思路简洁：筛法统计 + 倒推答案，是这道题的标准最优解法

本题核心是逆向枚举公约数 + 筛法统计，避免暴力超时
cnt[d] 表示有多少个数可以被 d 整除，即最多选 cnt[d] 人
倒序更新答案是为了让小 k 继承大 k 的最优解

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int n,mx,cnt[N],ans[N];
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=0,x;i<n;i++){cin>>x;cnt[x]++;mx=max(mx,x);}
    for(int i=1;i<=mx;i++)
        for(int j=i*2;j<=mx;j+=i)
            cnt[i]+=cnt[j];
    for(int i=1;i<=mx;i++)ans[cnt[i]]=max(ans[cnt[i]],i);
    for(int i=n-1;i>=1;i--)ans[i]=max(ans[i],ans[i+1]);
    for(int i=1;i<=n;i++)cout<<ans[i]<<'\n';
    return 0;
}