NIT算法导论 字母序列(Betty 定理)

NIT算法导论 字母序列

Description

考虑由两个字母A和B构成的词所组成的这样一个序列：序列中的第一个词是“A”，第k个词是由第k-1个词经过下面的变换得到：每个A替换为AAB，以及每个B替换为A。容易看出每个词是它的下一个词的起始部分，这些词的起始部分相当于给出了一个字母序列AABAABAAABAABAAB……。问你第n个字母A在哪一个位置出现？

Input

一个正整数N,(1<=N<=1000000)

Output

位置序号。

Sample Input

​ 1000

Sample Output

​ 1414

解题思路：

一开始读完题没处下手，看看数据范围蛮小的就打了个暴力，后来发现这玩意是个贝蒂定理，假设\(A\)第\(i\)次出现的位置是\(A_i\),\(B\)第\(i\)次出现的位置是\(B_i\)，打个表发现\(B_i-A_i=2i\),那么由令\(b=a+2\),代入贝蒂定理\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1\)得\(a=\sqrt 2,b=\sqrt 2+2\)那么\(a_i=\lfloor \sqrt2 i\rfloor\)，其实\(b_i\)也知道了是\(b_i=\lfloor(\sqrt2 +2)i \rfloor\) 话说这题目描述的样例就是来坑人的

代码：

答案就是\(\lfloor \sqrt2 i\rfloor\)没啥意思 贴个之前模拟的解法吧

#include <bits/stdc++.h>
#include <ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
#include <ext/pb_ds/hash_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/tree_policy.hpp>
#include <ext/pb_ds/trie_policy.hpp>
using namespace __gnu_pbds;
using namespace std;
// freopen("k.in", "r", stdin);
// freopen("k.out", "w", stdout);
// clock_t c1 = clock();
// std::cerr << "Time:" << clock() - c1 <<"ms" << std::endl;
//#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
mt19937 rnd(time(NULL));
#define de(a) cout << #a << " = " << a << endl
#define rep(i, a, n) for (int i = a; i <= n; i++)
#define per(i, a, n) for (int i = n; i >= a; i--)
#define ls ((x) << 1)
#define rs ((x) << 1 | 1)
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<double, double> PDD;
typedef pair<char, char> PCC;
typedef pair<ll, ll> PLL;
typedef vector<int> VI;
#define inf 0x3f3f3f3f
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int MAXN = 1e6 + 7;
const int MAXM = 4e5 + 7;
const ll MOD = 1e9 + 7;
const double eps = 1e-7;
const double pi = acos(-1.0);
int main()
{
    int n;
    while (~scanf("%d", &n))
    {
        int ans;
        string a = "A";
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            string temp = "";
            int cnt = 0;
            for (int j = 0; j < a.size(); j++)
            {
                if (a[j] == 'A')
                {
                    temp += "AAB";
                    cnt++;
                }
                else
                    temp += "A";
                if (cnt == n)
                {
                    ans = j + 1;
                    goto where;
                }
            }
            a = temp;
        }
    where:
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}