P-NP问题

2000年初美国克雷数学研究所的科学顾问委员会选定了七个“千年大奖问题”，克雷数学研究所的董事会决定建立七百万美元的大奖基金，每个“千年大奖问题”的解决都可获得百万美元的奖励。

“千禧难题”之一：Ｐ（多项式算法）问题对ＮＰ（非多项式算法）问题

在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数１３７１７４２１可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为３６０７乘上３８０３，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克于１９７１年陈述的。  

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P对NP问题是克雷数学研究所高额悬赏的七个千禧年难题之一，同时也是计算机科学领域的最大难题，关系到计算机完成一项任务的速度到底有多快。有些问题计算起来很容易，利用多项式算法很快能解决，比如求若干个数的乘积，这类问题被称作P问题；另一类问题计算过程比较繁琐，但验证答案却很容易，比如把整数44427进行因数分解，求解过程可能会很费时，但如果告诉你答案是177×251，简单计算即可验证答案是对的，这类问题就被归为NP问题。

    因此，如果P=NP，那么每个答案很容易得到验证的问题也同样可以轻松求解。这将对计算机安全构成巨大威胁，目前加密系统的破解就相当于要将一个整数分解为几个因数的乘积，正是其求解过程的繁琐，才能杜绝黑客的入侵。

    而现在，迪奥拉里卡围绕一个众所周知的NP问题进行论证，给出了P≠NP的答案。这就是布尔可满足性问题(Boolean Satisfiability Problem)，即询问一组逻辑陈述是否能同时成立或者互相矛盾。迪奥拉里卡声称，他已经证明，任何程序都无法迅速解答这个问题，因此，它不是一个P问题。

    如果迪奥拉里卡的答案成立，说明P问题和NP问题是不同的两类问题，这也意味着计算机处理问题的能力有限，很多任务的复杂性从根本上来说也许是无法简化的。

    对于有些NP问题，包括因数分解，P≠NP的结果并没有明确表示它们是不能被快速解答的；但对于其子集NP完全问题，却注定了其无法很快得到解决。其中一个著名的例子就是旅行商问题(Travelling Salesman Problem)，即寻找从一个城市到另一个城市的最短路线，答案非常容易验证，不过，如果P≠NP，就没有计算机程序可以迅速给出这个答案。