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射线与平面的相交检测(Ray-Plane intersection test)

射线的定义

在欧几里德几何中,射线的定义是:直线上一点和它一旁的部分。由此可知,射线有两个性质,一是只有一个端点,二是一端无限延伸。

射线的参数方程

其中p0是射线的起点, u是射线的方向向量,t >= 0,根据t的取值不同,可得射线上不同的点,所有这些点便构成了整个射线,如图

平面的定义

平面可以由法向量和平面内的一点来确定,因为过一点,有且只有一个平面与已知直线垂直

平面的参数方程

其中n是平面的法向量,p0是已知的平面内一点,符号表示 点积,因n与平面垂直,所以n与平面内任意直线垂直, 而(p-p0)则是平面内的一个向量,所以n (p-p0)垂直,而互相垂直的向量其点积为0,见下图

 

向量的点积公式

 射线与平面的交点 

有了射线和平面的参数方程,那么求二者的交点相当于解下面的方程组


注意这里两个方程中的p0是不同的,为区别彼此,将平面方程中的p0改为p1,并将射线方程代入平面方程,整理得到


若t >= 0, 则射线与平面相交,且交点为p0 + tu,若t < 0,则不相交。(注意这里,n不可约去,因为做的是点积,而不是普通乘法)  

posted on 2009-10-17 22:24  翰墨小生  阅读(9461)  评论(10编辑  收藏

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