卡特兰数

一、卡特兰数

1、公式：\(K_{n}=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}=\frac{C_{2n}^{n}}{n+1}=\frac{K_{n-1}(4n-2)}{n+1}(n\ge1)\)，当 \(n==0\) 时，\(K_0=1\)。

2、特殊性质：卡特兰数是符合下面这个数列的一个公式：\(h(n)=h(0)h(n-1)+h(1)h(n-2)+...+h(n-1)h(0)\) \((其中n\ge 2,h(0)=h(1)=1)\)。

3、前几项为：\(0,1,2,5,14,...\)，所以只要符合这个数列就是卡特兰数。

二、应用

1、卡特兰数解决的问题：

• 二叉树的构成计数问题：已知二叉树有 \(n\) 个结点，求能构成多少种不同的二叉树

• 括号化问题：一个合法的表达式由()包围，()可以嵌套和连接，如：(())()也是合法表达式，现给出 \(n\) 对括号，求可以组成的合法表达式的个数。

• 凸多边形的划分问题：将一个凸 \(n+2\) 多边形区域分成三角形区域的方法数。

• 进出栈问题：一个栈的进栈序列为 \(1,2,3,...n\)，求不同的出栈序列有多少种。
  q

• 路径问题：在 \(n*n\) 的方格地图中，从一个角到另外一个角，求不跨越对角线的路径数有多少种。

• 握手问题：\(2n\) 个人均匀坐在一个圆桌边上，某个时刻所有人同时与另一个人握手，要求手之间不能交叉，求共有多少种握手方法。

三、代码

代码一解决不取模的：

template<typename T>
struct Catelan{
	static const int N = 50;
    T C[N + 1][N + 1];
    Catelan() {
        for (T i = 0; i <= N; i++) {
			C[i][0] = C[i][i] = 1;
			for (T j = 1; j < i; j++) {
				C[i][j] = C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1];
			}
		}
    }
    
    inline T get(T n) {
		return C[2 * n][n] / (n + 1);
	}
};

解决取模的代码：

template<typename T>
struct Catelan{
    inline T qp(T a, T b, T p = 1e9 + 7) {
		T res = 1;
		a %= p;
		for (; b; b >>= 1LL, a = a * a % p) {
			if (b & 1) res = res * a % p;
		}
		return res;
	}
	
	inline T get_inv(T a, T p = 1e9 + 7) {
		return qp(a, p - 2, p);
	}
    
	int N;
	vector<T> fac, inv;
	
    Catelan() {}
	Catelan(int N_, T p = 1e9 + 7) : fac(N_ + 1), inv(N_ + 1) {
        N = N_;
        fac[0] = 1;
		for (T i = 1; i <= N; i++) fac[i] = fac[i - 1] * i % p;
		inv[N] = get_inv(fac[N], p);
		for (T i = N - 1; i >= 1; i--) inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % p;
    }
	
	inline T C(T n, T m, T p = 1e9 + 7) {
		if (n < m) {
			return (T)0;
		}
		return fac[n] * inv[n - m] % p * inv[m] % p;
	}
    
    inline T get(T n, T p = 1e9 + 7) {
		return (C(2 * n, n, p) - C(2 * n, n - 1) + p) % p;
	}
};