斐波那契

斐波那契

一、斐波那契数列：

1、公式为：\(F_0=0,F_1=1,F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\)，前几项为：\(0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89...\)。

2、求解斐波那契数列：

• 利用递推式求解，时间复杂度为 \(O(n)\)。

• 利用矩阵快速幂求解，时间复杂度为 \(O(2*2*2log(n))=O(8log(n))\)。

• 利用斐波那契通项公式来求解，时间复杂度为 \(O(1)\)。

• 通项公式求解：\(F_n=\frac{(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n}}{\sqrt{5}}\)。

可以发现，这个式子分子的第二项总是小于1，并且它以指数级的速度减小，所以我们可以把这个式子写成 \(F_n=[\frac{\frac{1+\sqrt{5}}{2}^{n}}{\sqrt{5}}]\)。

其中这里的中括号表示取离它最近的整数，但是这两个公式在计算中要求的精确度极高，但也是有用的。

二、卢卡斯数列：

1、公式为：\(L_0=2,L_1=1,L_n=L_{n-1}+L_{n-2}\)，前几项为：\(2,1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199\)。

2、求解卢卡斯数列：

• 通项公式求解：\(L_n=(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}+(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n}\)。

其中和斐波那契数列一样后面那项可以省略。

三、两者结合：

1、\(\frac{L_n+F_n\sqrt{5}}{2}=(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n\)。

• 由 \(pell\) 方程可得：\((L_n)^{2}-5(F_n)^2=-4\)。

• 即已知 \(F_n\) 和 \(L_n\) 的任意一个，就可以 \(O(1)\) 得到另一个。

四、斐波那契数列的性质：

1、二元组公式：\(\left\{\begin{array}{l} F_{2n}=F_n(2F_{n+1}-F_{n}) \\ F_{2n+1}=F_{n+1}^{2}+F_{n}^{2} \end{array}\right.\)

• 我们可以快速的得到一个斐波那契相邻连续二元组 \((F_n,F_{n+1})\)。

inline PI fib(i64 n, i64 p = 1e9 + 7) {
    if (n == 0) return {0LL, 1LL};
    auto [x, y] = fib(n >> 1LL);
    i64 c = x * ((2LL * y % p - x + p) % p) % p;
    i64 d = (x * x % p + y * y % p) % p;
    if (n & 1) return {d, c + d};
    return {c, d};
}

2、卡西尼性质：\(F_{n-1}F_{n+1}-F_n^2=(-1)^n\)。

3、推论：\(F_{n+k}=F_{k}F_{n+1}+F_{k-1}F_{n}\)。

4、令 \(3\) 中的 \(k=n\)，则得到 \(F_{2n}=F_n(F_{n+1}+F_{n-1})\)。

5、由上一条性质可以得到：\(\forall k \in N,F_n|F_{nk}\)。

6、\(GCD\) 性质：\(gcd(F_n,F_m)=F_{gcd(n,m)}\)。

7、二倍下标公式等式：\(\left\{\begin{array}{l} L_{2n}=(L_n)^2 - 2(- 1)^n \\ F_{2n}=F_nL_n \end{array}\right.\)

8、\(F_{n+1}F_{n}=\sum_{i=0}^{n}(F_{i})^2\)。

9、\(F_n^2=2F_{n-1}^2+2F_{n-2}^{2}-F_{n-3}^{2}\)。

10、\(gcd(F_{n+1},F_{n})=1\)。