常见的线性筛求解一些数论函数

对于所有的函数我们都令 \(p\) 表示 \(x\) 的最小质因子。

• 求解因子数函数 \(d(x)\)，可以发现如果 \(\frac{x}{p}\%p\ne 0\)，那么 \(d(x)=d(\frac{x}{p})d(p)\)，否则 \(d(x)=2d(\frac{x}{p})-d(\frac{x}{p^2})\) 。

• 求解欧拉函数 \(\varphi(x)\)，可以发现如果 \(\frac{x}{p}\%p\ne 0\)，那么 \(\varphi(x)=\varphi(\frac{x}{p})\varphi(p)\)，否则 \(\varphi(x)=\varphi(\frac{x}{p})p\) 。

• 求解因子和数函数 \(\varrho(x)\)，可以发现如果 \(\frac{x}{p}\%p\ne 0\)，那么 \(\varrho(x)=\varrho(\frac{x}{p})\varrho(p)\)，否则 \(\varrho(x)=(p+1)\varrho(\frac{x}{p})-p\varrho(\frac{x}{p^2})\) 。