狄利克雷卷积

卷积的性质：

交换律：\(f * g=g * f\) 。

结合律：\((f * g) * h=f * (g * h)\) 。

分配律：\((f + g) * h=f * h+g * h\) 。

等式的性质：\(f=g\) 的充要条件是 \(f*h=g*h\)，其中数论函数 \(h(x)\) 要满足 \(h(1)\ne 0\) 。

两个积性函数的卷积也是积性函数。

积性函数的逆元也是积性函数，即 \(f*g=\varepsilon\)，则函数 \(g(x)\) 也是积性函数。

例子：

\((1)\)：\(\varepsilon =u*1 \Longleftrightarrow \varepsilon (n)=\sum_{d|n}u(d)\) \(单元函数\)

\((2)\)：\(d=1*1 \Longleftrightarrow d(n)=\sum_{d|n}1\) \(求约数数目\)

\((3)\)：\(\varrho =id*1 \Longleftrightarrow \varrho(n) =\sum_{d|n}d\) \(求约数值的和\)

\((4)\)：\(\varphi =u*id \Longleftrightarrow \varphi(n)=\sum_{d|n}d·u(\frac{n}{d})\) \(求欧拉函数值\)

\((5)\)：\(id=\varphi * 1 \Longleftrightarrow id(n)=\sum_{d|n}\varphi(d)\) \(求n\)