[LeetCode] 698. Partition to K Equal Sum Subsets 分割K个等和的子集

Given an integer array nums and an integer k, return true if it is possible to divide this array into k non-empty subsets whose sums are all equal.

Example 1:

Input: nums = [4,3,2,3,5,2,1], k = 4
Output: true
Explanation: It's possible to divide it into 4 subsets (5), (1, 4), (2,3), (2,3) with equal sums.

Example 2:

Input: nums = [1,2,3,4], k = 3
Output: false

Constraints:

1 <= k <= nums.length <= 16
1 <= nums[i] <= 10^4
The frequency of each element is in the range [1, 4].

这道题给了一个数组 nums 和一个数字k，问我们该数字能不能分成k个非空子集合，使得每个子集合的和相同。给了k的范围是 [1,16]，而且数组中的数字都是正数。这跟之前那道 Partition Equal Subset Sum 很类似，但是那道题只让分成两个子集合，所以问题可以转换为是否存在和为整个数组和的一半的子集合，可以用 dp 来做。但是这道题让求k个和相同的，感觉无法用 dp 来做，因为就算找出了一个，其余的也需要验证。这道题可以用递归来做，首先还是求出数组的所有数字之和 sum，首先判断 sum 是否能整除k，不能整除的话直接返回 false。然后需要一个 visited 数组来记录哪些数字已经被选中了，然后调用递归函数，目标是组k个子集合，且每个子集合之和为 target = sum/k。还需要变量 start，表示从数组的某个位置开始查找，curSum 为当前子集合之和，在递归函数中，如果 k=1，说明此时只需要组一个子集合，那么当前的就是了，直接返回 true。如果 curSum 等于 target 了，则再次调用递归，此时传入 k-1，start 和 curSum 都重置为0，因为当前又找到了一个和为 target 的子集合，要开始继续找下一个。否则的话就从 start 开始遍历数组，如果当前数字已经访问过了则直接跳过，否则标记为已访问。然后调用递归函数，k保持不变，因为还在累加当前的子集合，start 传入 i+1，curSum 传入 curSum+nums[i]，因为要累加当前的数字，如果递归函数返回 true 了，则直接返回 true。否则就将当前数字重置为未访问的状态继续遍历，参见代码如下：

解法一：

class Solution {
public:
    bool canPartitionKSubsets(vector<int>& nums, int k) {
        int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
        if (sum % k != 0) return false;
        vector<bool> visited(nums.size());
        return helper(nums, k, sum / k, 0, 0, visited);
    }
    bool helper(vector<int>& nums, int k, int target, int start, int curSum, vector<bool>& visited) {
        if (k == 1) return true;
        if (curSum == target) return helper(nums, k - 1, target, 0, 0, visited);
        for (int i = start; i < nums.size(); ++i) {
            if (visited[i]) continue;
            visited[i] = true;
            if (helper(nums, k, target, i + 1, curSum + nums[i], visited)) return true;
            visited[i] = false;
        }
        return false;
    }
};

我们也可以对上面的解法进行一些优化，比如先给数组按从大到小的顺序排个序，然后在递归函数中，可以直接判断，如果 curSum 大于 target 了，直接返回 false，因为题目中限定了都是正数，并且也给数组排序了，后面的数字只能更大，这个剪枝操作大大的提高了运行速度，感谢热心网友 hellow_world00 提供，参见代码如下：

解法二：

class Solution {
public:
    bool canPartitionKSubsets(vector<int>& nums, int k) {
        int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
        if (sum % k != 0) return false;
        sort(nums.begin(), nums.end(), greater<int>());
        vector<bool> visited(nums.size(), false);
        return helper(nums, k, sum / k, 0, 0, visited);
    }
    bool helper(vector<int>& nums, int k, int target, int start, int curSum, vector<bool>& visited) {
        if (k == 1) return true;
        if (curSum > target) return false;
        if (curSum == target) return helper(nums, k - 1, target, 0, 0, visited);  
        for (int i = start; i < nums.size(); ++i) {
            if (visited[i]) continue;
            visited[i] = true;
            if (helper(nums, k, target, i + 1, curSum + nums[i], visited)) return true;
            visited[i] = false;
        }
        return false;
    }
};

下面这种方法也挺巧妙的，思路是建立长度为k的数组v，只有当v里面所有的数字都是 target 的时候，才能返回 true。我们还需要给数组排个序，由于题目中限制了全是正数，所以数字累加只会增大不会减小，一旦累加超过了 target，这个子集合是无法再变小的，所以就不能加入这个数。实际上相当于贪婪算法，由于题目中数组数字为正的限制，有解的话就可以用贪婪算法得到。用一个变量 idx 表示当前遍历的数字，排序后，从末尾大的数字开始累加，遍历数组v，当前位置加上 nums[idx]，如果超过了 target，跳过继续到下一个位置，否则就调用递归，此时的 idx 为 idx-1，表示之前那个数字已经成功加入数组v了，尝试着加下一个数字。如果递归返回 false 了，就将 nums[idx] 从数组v中对应的位置减去，还原状态，然后继续下一个位置。如果某个递归中 idx 等于 -1 了，表明所有的数字已经遍历完了，此时检查数组v中k个数字是否都为 target，是的话返回 true，否则返回 false，参见代码如下：

解法三：

class Solution {
public:
    bool canPartitionKSubsets(vector<int>& nums, int k) {
        int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
        if (sum % k != 0) return false;
        vector<int> v(k);
        sort(nums.begin(), nums.end());
        return helper(nums, sum / k, v, (int)nums.size() - 1);
    }
    bool helper(vector<int>& nums, int target, vector<int>& v, int idx) {
        if (idx == -1) {
            for (int t : v) {
                if (t != target) return false;
            }
            return true;
        }
        int num = nums[idx];
        for (int i = 0; i < v.size(); ++i) {
            if (v[i] + num > target) continue;
            v[i] += num;
            if (helper(nums, target, v, idx - 1)) return true;
            v[i] -= num;
        }
        return false;
    }
};